25) Распределение Больцмана. Распределение Максвелла. Скорости теплового движения молекул.

Распределение Больцмана – распределение по энергиям частиц (атомов, молекул) идеального газа в условиях термодинамического равновесия было открыто в 1868–1871 гг. австрийским физиком Л. Больцманом.

В присутствии гравитационного поля (или, в общем случае, любого потенциального поля) на молекулы газа действует сила тяжести. В результате, концентрация молекул газа оказывается зависящей от высоты:

где n – концентрация молекул на высоте h, n₀ – концентрация молекул на начальном уровне h = 0, m – масса частиц, g – ускорение свободного падения, k – постоянная Больцмана, T – температура.

Распределение Максвелла описывает распределение по скоростям молекул (частиц) макроскопической физической системы, находящейся в статическом равновесии, при условии, что движение молекул подчиняется законам классической механики (например классический идеальный газ). Установлено Дж.Максвеллом в 1859 году. Согласно распределению Максвелла, вероятное число молекул в единице объёма f(v), компоненты скоростей которых лежат в интервалах от v_x до v_x+dv_x, v_y до v_y+dv_y, v_z до v_z+dv_z, 

f(v) = n (m/2pkT)^3/2exp( -mv²/2kT) k - постоянная Больцмана.

Молекулы газа при своем движении постоянно сталкиваются. Скорость каждой молекулы при столкновении изменяется. Она может возрастать и убывать. Однако среднеквадратичная скорость остается неизменной. Это объясняется тем, что в газе, находящемся при определенной температуре, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Скорость отдельной молекулы с течением времени может меняться, однако доля молекул со скоростями в некотором интервале скоростей остается неизменной.

Основываясь на опыте Штерна, можно ожидать, что наибольшее число молекул будут иметь какую-то среднюю скорость, а доля быстрых и медленных молекул не очень велика. Необходимые измерения показали, что доля молекул  , отнесенная к интервалу скорости Δv, т.е.  , имеет вид, показанный на рис. Максвелл в 1859 г. теоретически на основании теории вероятности определил эту функции.

Установление этой зависимости позволило определить кроме уже известной среднеквадратичной скорости еще две характерные скорости – среднюю и наиболее вероятную. Средняя скорость – это сумма скоростей всех молекул, деленная на общее число всех молекул в единице объема.

Средняя скорость, подсчитанная на основании закона Максвелла, выражается формулой

или

Наиболее вероятная скорость – это скорость, вблизи которой на единичный интервал скоростей приходится наибольшее число молекул.

26) Работа газа при изменении его объёма. Внутренняя энергия. Удельная и молярная теплоёмкости. Формула Майера.Газ оказывает давление на любую стенку сосуда. Если стенка подвижна, то сила давления F совершит работу A, переместив поршень на расстояние DL. Если DL невелико, то давление газа останется примерно постоянным. Тогда работа будет равна:  A = F·DL·cosa= P·S·DL, где S - площадь поршня, a - угол между направлением силы и перемещением поршня (a= 0). Произведение S·DL равно изменению объема газа DV от начального V₁ до конечного V₂значения, т.е. S·DL =DV = V₁ - V₂. Тогда A = P·(V₂ - V₁) = P·DV. В изобарном процессе расширения газа P = const. Следовательно, при любом сколь угодно большом увеличении объема сила давления газа на поршень будет постоянной, и формула работы сохранит свой вид A = P·(V₂ -V₁).Теплоёмкость тела характеризуется количеством теплоты, необходимой для нагревания этого тела на один градус: Размерность теплоемкости: [C] = Дж/К. Однако, теплоёмкость – величина неопределённая, поэтому пользуются понятиями удельной и молярной теплоёмкости. Удельная теплоёмкость (С_уд) есть количество теплоты, необходимое для нагревания единицы массы вещества на 1 градус [C_уд] = Дж/К. Для газов удобно пользоваться молярной теплоемкостью Cμ- количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моля газа на 1 градус: [Cμ] = Дж/(моль×К)молярная масса – масса одного моля: где А – атомная масса; m_ед - атомная единица массы; N_А - число Авогадро; моль μ – количество вещества, в котором содержится число молекул, равное числу атомов в 12 г изотопа углерода ¹²С.Теплоёмкость термодинамической системы зависит от того, как изменяется состояние системы при нагревании. Если газ нагревать при постоянном объёме, то всё подводимое тепло идёт на нагревание газа, то есть изменение его внутренней энергии. Теплоёмкость при этом обозначается С_V. С_Р – теплоемкость при постоянном давлении. Если нагревать газ при постоянном давлении Р в сосуде с поршнем, то поршень поднимется на некоторую высоту h, то есть газ совершит работу. Следовательно, проводимое тепло затрачивается и на нагревание и на совершение работы. Отсюда ясно, что 

Итак, проводимое тепло и теплоёмкость зависят от того, каким путём осуществляется передача тепла. Значит, Q и С не являются функциями состояния. Величины С_Р и С_V оказываются связанными простыми соотношениями. Найдём их.Пусть мы нагреваем один моль идеального газа при постоянном объёме(dA = 0). Тогда первое начало термодинамики запишем в виде: т.е. бесконечно малое приращение количества теплоты   равно приращению внутренней энергии dU. Теплоемкость при постоянном объёме будет равна: (4,2,4)В общем случае так как U может зависеть не только от температуры. Из (4.2.4) следует, что  , (4,2,5)Внутренняя энергия идеального газа является только функцией температуры (и не зависит от V, Р и тому подобных), поэтому формула (4.2.5) справедлива для любого процесса. Для произвольной идеальной массы газа: При изобарическом процессе, кроме увеличения внутренней энергии, происходит совершение работы газом: Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории  . При изобарическом процессе Р = const. Следовательно, из (4.2.7) получим: - Это уравнение Майера для одного моля газа. Из этого следует, что физический смысл универсальной газовой постоянной в том, что R – численно равна работе, совершаемой одним молем газа при нагревании на один градус в изобарическом процессе. формула Майера для удельных теплоёмкостей: или