4.1.2. Екстремум функції багатьох змінних

Розглянемо функцію визначену в деякому -околі точки .

Визначення 4.5. Функція має в точці локальний максимум (мінімум), якщо існує такий -окіл точки , в якому при виконується нерівність ( ).

Якщо ж ( ) виконується для всіх з області визначення функції , то кажуть, що вона досягає глобального максимуму (мінімуму).

Локальний мінімум може бути істотно більшим за локальний максимум. Глобальний максимум (мінімум) є одним із локальних максимумів (мінімумів).

Припустимо, що функція має в точці локальний екстремум. Тоді, якщо в цій точці існують частинні похідні першого порядку по всіх змінних, то всі вони рівні нулю. Таким чином, в цьому випадку екстремальні точки функції задовольняють системі рівнянь . Якщо ж функція диференційована в точці , то умова є необхідною для існування локального екстремуму. Точки, в яких виконується необхідна умова, називають стаціонарними. Отже, функція може набувати локального екстремуму тільки в стаціонарних точках або в точках, в яких частинні похідні першого порядку не існують. Всі ці точки називають точками можливого екстремуму.

Функція

(4.4)

змінних називається квадратичною формою. Числа називаються коефіцієнтами квадратичної форми.

Квадратична форма називається додатно (від’ємно) визначеною, якщо для кожної точки .

Додатно (від’ємно) визначені квадратичні форми називають просто визначеними або знаковизначеними. Квадратичні форми, які можуть приймати як додатні, так і від’ємні значення, називаються невизначеними.

Критерій Сильвестра додатної (від’ємної) визначеності звучить так: для того, щоб квадратична форма (4.4) була додатно визначена, необхідно і досить, щоб

, ... , ;

для того, щоб квадратична форма (4.4) була від’ємно визначена, необхідно і досить, щоб

, ... , .

Так для квадратичної форми

, , ,

додатні і квадратична форма є додатно визначеною.

Теорема 4.1. Нехай функція визначена і має неперервні похідні другого порядку в деякому околі точки і точка є стаціонарною точкою функції . Тоді, якщо квадратична форма

(4.5)

(тобто другий диференціал функції в точці ) додатно (від’ємно) визначена, то є точкою локального мінімуму (максимуму); якщо ж квадратична форма (4.5) не визначена, то в точці екстремуму не існує.

Приклад 4.3. Дослідити на локальний екстремум функцію

.

Розв’язок. Із системи

,

,

визначаємо координати стаціонарної точки: , , .

Знайшовши частинні похідні другого порядку

, , , ,

Отримаємо , , , тобто другий диференціал , згідно з критерієм Сильвестра, представляє собою додатно визначену квадратичну форму. Відповідно, в точці функція досягає мінімуму .

Розглянутий приклад представляє собою задачу НП (ЗНП) без обмежень.

Нехай тепер аргументи досліджуваної функції зв’язані між собою співвідношеннями

, , (4.6)

які називають рівняннями зв’язку.

Визначення 4.6. Функція має в точці умовний мінімум (максимум) при умовах (4.6), якщо існує такий -окіл точки , що для будь-якої точки цього околу, координати якої задовольняють (4.6), виконується нерівність .

Інакше кажучи, умовний максимум (мінімум) – це найбільше (найменше) значення функції в точці по відношенню не до всіх точок із деякого -околу точки , а лише до тих з них, які зв’язані між собою умовами зв’язку (4.6).

Як правило, використовують два методи розв’язування задач на умовний екстремум: метод виключення частини змінних та метод Лагранжа. Дію першого методу ми проілюструємо на конкретному прикладі, а на другому зупинимося більш детально.

Задача на умовний екстремум функції при виконанні умови (4.6) еквівалентна задачі про умовний екстремум функції

, (4.7)

де числа , задовольняють умові

. (4.8)

Функція називається функцією Лагранжа задачі, а самі числа , називаються множниками Лагранжа.

Умова (4.8) означає, що якщо є точкою умовного екстремуму функції відносно рівнянь зв’язку (4.6), то вона є стаціонарною _{точкою для функції Лагранжа, тобто}

, . (4.9)

Звернемо увагу на те, що в функції (4.7) при довільних числах , кожна точка її умовного екстремуму є і точкою умовного екстремуму функції і навпаки. Ми вибираємо такі значення , , для яких виконується (4.8).

Для знаходження точок умовного екстремуму функції при умовах зв’язку (4.6) потрібно розв’язати систему рівнянь

(4.10)

відносно невідомих .

Якщо – розв’язок системи (4.10), то є точкою можливого умовного екстремуму функції при умовах зв’язку (4.6).

При цьому знак другого диференціалу в стаціонарній точці визначає характер екстремуму. Має місце

Теорема 4.2. Якщо задовольняє рівнянням зв’язку (4.6) і є стаціонарною точкою функції Лагранжа (4.7), другий диференціал якої в цій точці є додатно (від’ємно) визначеною квадратичною формою змінних при умові, що вони задовольняють систему рівнянь , , то є точкою умовного мінімуму (максимуму) для функції відносно рівнянь (4.10).

Приклад 4.4. Методом виключення частини змінних та методом Лагранжа знайти екстремум функції

_(4.11)

(4.12)

Розв’язок. Розв’язуючи систему (4.12) відносно і знаходимо

, .

Тоді і ми одержали функцію однієї змінної. .

Із системи (4.12) при отримаємо , . Таким чином, функція (4.11) при умові зв’язку (4.12) має в точці мінімум. При чому .

_{Розв’яжемо даний приклад методом Лагранжа. Складемо функцію Лагранжа}

і запишемо для неї систему рівнянь (4.10):

яка має єдиний розв’язок: тобто – єдина точка можливого екстремуму функції (4.11) при умовах зв’язку (4.12).

Припускаючи, що в систему (4.12) підставлений її розв’язок , і диференціюючи одержані рівності, отримаємо або

Другий диференціал функції Лагранжа , звідки при отримуємо додатно визначену квадратичну форму від однієї змінної , що дорівнює . Отже функція (4.11) за умов зв’язку (4.12) має мінімум в точці .