3.3. Розв’язування матричних ігор в змішаних стратегіях

Нехай гра задана матрицею (табл. 3.4.)

Таблиця 3.4

	B1	B2	…	Bn	pi
A1			…		р1
…	…	…	…	…	…
Am			…		pm
			…

Через p₁, p₂, ..., p_m позначені ймовірності, з якими гравець A використовує чисті стратегії A₁, A₂, ..., A_m.; , , а через ймовірності, з якими гравець використовує чисті стратегії ,

Визначення 3.9. Впорядкована множина P=(p₁; ...; p_m), елементи якої задовольняють умовам , і повністю визначають характер гри гравця A, називається його змішаною стратегією.

Таким чином, змішаною стратегією гравця A є повний набір ймовірностей застосування його чистих стратегій. Будь-яка його чиста стратегія A_і може розглядатися як частинний випадок змішаної стратегії, i-та компонента якої дорівнює 1, а решта – 0, тобто

Визначення 3.10. Впорядкована множина Q=(q₁;...; q_n), елементи якої задовольняють співвідношенням і повністю визначають характер гри гравця В, називається його змішаною стратегією.

Нехай гравці A і B застосовують змішані стратегії P і Q. Це означає, що гравець A використовує стратегію A_і з ймовірністю р_і , а гравець B - стратегію B_j з ймовірністю q_j. Оскільки гравці вибирають свої чисті стратегії випадково і незалежно один від одного, то ймовірність вибору комбінацій стратегій (A ,B_j) буде дорівнювати добутку ймовірностей p_iq_j. При використанні змішаних стратегій гра набуває випадкового характеру. Випадковою стає і величина виграшу гравця A (програшу гравця B). Тому тепер йдеться лише про середню величину виграшу (математичне сподівання). Ясно, що ця величина є функція від змішаних стратегій P і Q і визначається за формулою:

(3.3)

Визначення 3.11. Функція f(P,Q) називається платіжною функцією гри з матрицею (a_ij)_mn.

Гравець A, змінюючи свої змішані стратегії P, намагається максимізувати середній виграш f(P,Q), а гравець B, змінюючи свої змішані стратегії Q – зробити цей виграш якомога меншим.

Для розв’язку гри з точки зору гравця A необхідно знайти такі змішані стратегії P і Q, при яких би забезпечувався середній виграш, що дорівнює

Визначення 3.12. Величина називається верхньою ціною гри, а величина – нижньою.

Визначення 3.13. Змішані стратегії P^* і Q^* гравців A і B, які задовольняють рівність

(3.4)

називаються оптимальними.

Визначення 3.14. Величина , яка визначається формулою (3.4), називається ціною гри.

Дамо ще одне еквівалентне визначення оптимальних змішаних стратегій.

Визначення 3.15. Змішані стратегії P^* і Q^* гравців A і B відповідно називаються оптимальними змішаними стратегіями, якщо вони утворюють сідлову точку для платіжної функції f(P,Q), тобто задовольняють нерівності

(3.5)

З нерівностей (3.5) випливає, що в сідловій точці (P^*, Q^*) платіжна функція f(P,Q) досягає максимуму по змішаних стратегіях P гравця A і мінімуму по змішаних стратегіях Q гравця B.

Виявляється, що якщо використовувати змішані стратегії, то для будь-якої матричної гри можна знайти оптимальні стратегії і ціну гри. В цьому полягає зміст наступної теореми, яка в теорії ігор вважається основною і яку ми формулюємо без доведення.

Теорема 3.2. В змішаних стратегіях будь-яка скінченна матрична гра має сідлову точку.

Наступна теорема дає відповідь на питання: в якому випадку набір буде розв’язком гри.

Теорема 3.3. Для того, щоб змішані стратегії і були оптимальними для гравців A і B в грі з матрицею і ціною гри , необхідно і достатньо виконання нерівностей

, (3.6)

. (3.7)

Дана теорема стверджує, що якщо гравець A застосує оптимальну змішану стратегію P^*, а гравець B – будь-яку чисту стратегію B_j, то виграш гравця A буде не меншим від ціни гри . Якщо гравець B використовує оптимальну змішану стратегію Q^*, а гравець A – будь-яку чисту стратегію A_і, то програш гравця B не перевищить ціну гри .

Розв’язок гри можна суттєво спростити, якщо своєчасно виявити в матриці гри домінування одних стратегій над іншими, оскільки це дозволяє скоротити розмірність матриці.

Зауваження 3.1. Якщо в матриці гри елементи k-го рядка не менші за відповідні елементи s- го рядка, тобто , то виграш гравця A при стратегії A_k буде більшим, ніж при стратегії , якою б стратегією не користувався гравець B. Тому для гравця A стратегія A_k буде вигіднішою, ніж стратегія . В зв’язку з цим кажуть, що стратегія A_k домінує над стратегією .

Зауваження 3.2. Аналогічно, якщо елементи -го стовпчика не більші за відповідні елементи r-го стовпчика, тобто , то гравцю B при будь-яких умовах невигідно застосовувати стратегію B_r, оскільки в цьому випадку він буде програвати більше, ніж при використанні стратегії .