Розділ 4. Нелінійне програмування (нп)

4.1. Відомості з теорії функцій багатьох змінних

4.1.1. Функція. Частинні похідні. Диференціал

Нехай – деяка множина точок n-вимірного евклідового простору .

Визначення 4.1. Якщо кожній точці відповідає за певним законом одне і тільки одне дійсне число , то кажуть, що на множині визначена функція від n змінних і записують або .

Припустимо, що функція , визначена в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки .

Визначення 4.2. Число називають границею функції в точці , якщо для довільного існує , що для всіх точок , які задовольняють умову , виконується нерівність .

Визначення 4.3. Функцію називають неперервною в точці , якщо для довільного існує таке , що для всіх точок таких, що виконується нерівність .

Розглянемо функцію визначену в деякому околі точки . Частинна похідна цієї функції по змінній в точці обчислюється за формулою

, (4.1)

де і називається частинною похідною першого порядку.

При знаходженні частинних похідних використовуємо правила і формули диференціювання функції одної змінної, причому, якщо беремо похідну по змінній , то всі інші змінні вважаємо константами.

Приклад 4.1. Знайти частинні похідні функції .

Розв’язок.

Визначення 4.4. Функцію , , визначену в околі точки , називають диференційованою в цій точці, якщо повний приріст функції в цій точці можна подати у вигляді

,

де , , –деякі числа.

Для функції , , диференційованої в точці , формула для обчислення повного диференціалу має вигляд

. (4.2)

Приклад 4.2. Обчислити значення повного диференціала функції в точці .

Розв’язок. Скориставшись розв’язком прикладу 4.1, обчислимо значення частинних похідних в точці .

, , .

Підставивши їх в (4.2), отримаємо

.

Нехай функції , , ..., диференційовані в точці , а функція диференційована в точці , де . Тоді складна функція диференційована в точці і її частинні похідні в цій точці знаходяться за формулою

(4.3)

Диференціал функції в точці також має вигляд (4.2), але тепер є не приростами змінних , а диференціалами функцій в точці , тобто

.

Нехай функція визначена в області , а функції , визначені на інтервалі . Тоді з формули (4.3) для довільних точок та отримаємо

.

Диференціал складної функції обчислюється за формулою

.

Розглянемо складніший випадок, коли функція визначена в області , а функції визначені в області . Якщо точка належить області , то відповідна точка належить області . Тоді можна розглядати складну функцію , визначену в області і для неї

, ,

а диференціал.

.

Нехай функція має частинну похідну в кожній точці деякого околу точки . Якщо має в точці частинну похідну по аргументу , то ця похідна називається частинною похідною другого порядку функції по аргументу та в точці і позначається . Якщо , то частинна похідна другого порядку називається змішаною. При маємо .

Частинні похідні третього порядку означаються як частинні похідні від частинних похідних другого порядку і т.д.

Диференціал другого порядку функції в точці визначається як диференціал в точці від першого диференціала при наступних умовах:

) розглядається як функція тільки незалежних змінних і ;

) при обчисленні диференціалів від і прирости незалежних змінних і дорівнюють і .

На основі вищесказаного отримуємо формулу

.

Диференціал довільного -го порядку функції визначається за формулою .

У випадку функцій незалежних змінних при умовах, аналогічних до умов і , справедлива формула

.