6.3 Задача про агента

Агент з постачання повинен закупити для потреб фірми деякий матеріал, який продається на ринку один раз в певний період (тиждень, місяць, рік). Ціни в кожному періоді незалежні, при цьому з ймовірністю ціна буде , з ймовірністю – , ..., – , . Агент знає, що для виконання виробничої програми він повинен закупити даний матеріал протягом найближчих m періодів. Очевидно, що якщо чекати на потрібну ціну досить довго, то можна купити матеріал за більш високою ціною. З другої сторони, якщо поспішити з покупкою, то ціна може впасти і можливість зекономити буде втрачена. Задача полягає в виборі моменту купівлі, в який ціна очікуваної покупки буде мінімальною.

Приклад 6.2. Протягом чотирьох тижнів агент повинен для виробничих потреб фірми закупити деякий матеріал, який продається на ринку один раз в тиждень. Ціни кожного тижня незалежні, причому з ймовірністю тонна матеріалу коштуватиме 10 тис.грн., – 11 тис.грн., – 12 тис.грн. Вибрати момент купівлі матеріалу, щоб витрати були мінімальні.

Розв’язок. Представимо задачу у вигляді чотирьох етапного процесу прийняття рішення. В кожний момент необхідно вибрати один з двох варіантів: купити чи почекати.

Етап 1 відповідає останньому четвертому тижню, в якому вже вибору нема, якщо матеріал ще не куплений, то його потрібно купити за будь-яку ціну. Очікувана ціна матеріалу на четвертому тижні – це математичне сподівання

(тис.грн.)

Етап 2 відповідає третьому тижню. Агент може купити матеріал за ціну, яка склалася на ринку, або чекати до наступного тижня. Отже, агент купить матеріал, якщо ціна на нього буде меншою за , тобто 10 тис.грн. або 11 тис.грн. за тонну. Очікувана ціна покупки буде

(тис.грн.)

На третьому етапі агент купує матеріал, якщо ціна менша за , тобто за ціною 10 тис.грн. При інших варіантах ціни йому доцільно почекати принаймні до наступного тижня.

Середня ціна очікуваної покупки (тис.грн.)

Етап 4 (перший тиждень). Агент купить матеріал тільки за ціною 10 тис.грн. Середня очікувана ціна покупки протягом чотирьох тижнів рівна

(тис.грн.).

Таким чином, оптимальна стратегія: якщо в перший тиждень ціна буде рівною 10 тис.грн. за тонну, то потрібно купити матеріал, інакше чекати до наступного тижня; якщо на другий тиждень ціна буде 10 тис.грн., то матеріал потрібно купити, інакше чекати; якщо на третій тиждень ціна буде 10 або 11 тис.грн., то слід купити, інакше чекати; в останній тиждень слід купувати за будь-яку ціну.

Якщо агент дотримується оптимальної політики, то середня ціна, яку він заплатить, буде 10,531 тис.грн. за тонну. Це не означає, що агент заплатить саме ту ціну, він заплатить ту, яка встановиться на ринку – 10, 11 або 12 тис.грн. Середню очікувану ціну можна використовувати для визначення оптимальної стратегії.

Контрольні запитання та задачі

1. Які задачі та моделі називають детермінованими, стохастичними?

2. Що вивчає стохастичне програмування?

3. Що розуміють під активним та пасивним стохастичним програмуванням?

4. Охарактеризуйте одноетапні, двоетапні та багато етапні задачі стохастичного програмування.

5. Дайте характеристику задачі розподілу ресурсів в стохастичному варіанті задачі про агента.

6. За умовою прикладу 6.1, використовуючи його розв’язок, провести розподіл виділених коштів на: а) трьохрічний; б) чотирьохрічний періоди, щоб повний прибуток був максимальним.

7. Фінансовий менеджер володіє певною кількістю акцій які він повинен продати протягом наступних п’яти днів. Ціна на акції коливається від 20 до 22 доларів. Кожен день з ймовірністю 0,25 він може продати акції за 20 доларів, 0,45 – за 21, 0,3 – за 22 долари. Запропонувати оптимальну політику продажу, врахувавши, що всі акції повинні бути продані за один раз.

8. Фінансовий менеджер володіє опціоном на купівлю певної кількості акцій. Рух цін на такий опціон наступний:

понеділок: з ймовірністю 0,6 можна продати за 300 доларів і 0,4 за 200 доларів;

вівторок: 0,4 – 350, 0,4 – 250, 0,2 – 150;

середа: 0,2 – 400, 0,6 – 200, 0,2 – 150;

четвер: 0,5 – 300, 0,5 – 200;

п’ятниця: 1 – 175.

Запропонувати оптимальну політику продажу, врахувавши, що всі акції повинні бути продані за один раз.