5.3.2. Задача про збільшення виробничих потужностей за рахунок відрахувань з прибутку

На початку п'ятирічного періоду роботи підприємству виділена сума в с гривень для придбання нового обладнання. Вартість одного комплекту обладнання – грн. Придбане обладнання відразу бере участь у виробничому процесі. Використання одного комплекту обладнання забезпечує підприємству за рік прибуток в розмірі а гривень. В кінці кожного року підприємство може виділити деяку долю прибутку на розширення виробничих потужностей, тобто на придбання додатково деякої кількості комплектів обладнання, яке буде використовуватися в наступні роки. Потрібно так спланувати розширення виробництва, щоб прибуток за п'ятирічку був максимальним.

Розглядуваний процес багатоетапний. Розв'язком на кожному етапі є вибране найкращим чином значення параметра – долі прибутку, який відраховується на придбання додаткового обладнання. Нехай , – доля відрахувань в -му році, т_і – кількість комплектів обладнання, які використовуються в виробництві в -му році; – фактичний прибуток

підприємства в -му році.

Виробничий процес буде формально описаний, якщо на початок кожного року вказати кількість комплектів діючого обладнання і сумарний прибуток, накопичений до цього моменту.

В перший рік у виробництві буде задіяно комплектів обладнання. Якщо б відрахувань не було, то прибуток становив би грн. За умовою задачі величина прибутку повинна скеровуватися на розширення виробництва. Тому фактичний прибуток за перший рік дорівнює

.

За відраховані кошти буде придбано комплектів обладнання. Тоді в другому році в виробництві буде зайнято

комплектів, а фактичний прибуток в другому році складе

.

Аналогічно отримуємо:

для третього року:

;

для четвертого року:

, , ;

для п'ятого року:

, , .

Сумарний фактичний прибуток підприємства за п'ятирічку позначимо через . Потрібно знайти такі , при яких досягає найбільшого значення.

Позначимо через , , , сумарний прибуток відповідно за 1-й рік; за 1-й і 2-й роки; 1; 2 і 3-й роки; за 1; 2; 3 і 4-й роки і покладемо грн.; грн. Тоді рухаючись від останнього року до передостаннього і т.д., побудуємо послідовно оптимальну стратегію відрахувань.

Нехай на початок п'ятого року стан виробничого процесу характеризується величинами і . Тоді прибуток за п'ятирічку можна виразити

,

звідки видно, що досягає максимуму при , який рівний: .

Оскільки, , то

, і

досягається при . Аналогічно

,

,

і при ;

,

,

при .

І накінець, , . Тоді

.

З останньої рівності видно, що . Таким чином, оптимальна стратегія і .

5.3.3. Задача про вибір найбільш економного маршруту постачання вантажу

На даній мережі доріг є декілька маршрутів, якими можна постачати вантаж з пункту 1 в пункт N . Відомі вартості перевезення одиниці вантажу між окремими проміжними пунктами мережі. Потрібно вибрати в мережі такий маршрут постачання вантажу з пункту 1 в пункт N, якому відповідають найменші витрати.

Для розв'язування задачі методом ДП розіб'ємо всі пункти мережі на групи. До першої групи віднесемо пункт 1; до другої – пункти, в які можна попасти безпосередньо з пункту 1; до третьої – пункти, в які можна попасти безпосередньо з будь-якого пункту другої групи і т.д. В результаті рух транспорту з вантажем з пункту 1 в пункт набуде поетапного характеру: на першому етапі транспорт рухається з пункту 1 в деякий пункт другої групи, на другому етапі – з пункту другої групи в пункт третьої групи і т.д. Разом з тим і процес знаходження найбільш економного маршруту з пункту 1 в пункт розпадається на етапи. На кожному етапі потрібно так вибрати маршрут, щоб затрати на постачання вантажу були мінімальними. Так вибраний підхід до розв'язування задачі враховує особливості мережі.

Стосовно розглядуваної задачі принцип оптимальності можна сформулювати так: яким би не був маршрут досягнення проміжного пункту мережі, подальший маршрут руху повинен співпадати з оптимальним для частин маршруту, який починається з цього пункту.