2.Навчальний матеріал

Тема: Числові характеристики випадкових величин.

1.

Математичне сподівання називають середнім значенням випадкової величини

Розглянемо дискретну випадкову величину Х, яка приймає значення

х₁,х₂,…,х_n з ймовірностями відповідно р₁, р₂,…,р_n. Обчислимо середнє значення випадкової величини , тобто математичне сподівання М(Х),

_{n n}

Врахувавши, що ∑р_і =1, отримуємо М(Х) = ∑х_і р_і

^{i=1 i=1}

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називається сума добутків всіх її можливих значень на відповідні ймовірності.

2.

Властивості математичного сподівання.

Властивість 1.Математичне сподівання двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань:

М(Х + У) = М(Х) + М(У).

Властивість 2.Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань:

М(ХУ) = М(Х)М(У)

Властивість 3.Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійній.

М(c) = c.

Властивість 4.Постійний множник випадкової величини можна винести за знак математичного сподівання.

M(cX) = c M(X)

Властивість 5.Математичне сподівання відхилення випадкової величини від її математичного сподівання дорівнює 0:

М(Х – М(Х)) = 0.

3. Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:

D(X) = M((X- M(X))²)

42

Для дискретної випадкової величини дисперсія дорівнює сумі добутків квадратів відхилень значень випадкової величини від її математичного сподівання на відповідні ймовірності:

_n

D(X)= ∑ (x_i – M(X))²p_i

^{i = 1}

4.Властивості дисперсії.

Властивість 1.Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:

D[X + Y] = D[X] + D[Y].

Властивість 2.Дисперсія випадкової величини дорівнює різниці між математичним сподіванням квадрата випадкової величини Х і квадратом її математичного сподівання.

D[X] = M(X²) – (M(X))²/

Властивість 3.Дисперсія постійної величини дорівнює нулю.

D[c] = 0.

Властивість 4.Постійний множник випадкової величини при винесенні за знак дисперії підноситься до квадрата.

D[cX] = c²D[X].

Властивість 5.Дисперсія добутку двох незалежних випадкових величин Х та Y визначається по формулі:

D[XY] = D[X]D[Y] + (M(X))²D[Y] + (M(Y))²D[Y].

5. Розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірності випадкової величини тому її не можна інтерпретувати геометрично.З цією метою вводиться середнє квадратичне відхилення випадкової величини, яке обчислюється за формулою:

____

σ_х = √D[X]

6.Нормований центральний момент третього порядку служить характеристикою скошеності або асиметрії розподілу (коефіцієнт асиметрії):

А_s = μ₃ /σ³, якщо μ₃ = М((Х – М(Х))³)

7.Нормований центральний момент четвертого порядку є характеристикою плосковершинності розподілу (ексцес):

Е = μ⁴ /σ⁴ - 3, якщо μ₄ = М((Х – М(Х))⁴)

43

8.Приклад 1.Знайти математичне сподівання кількості бракованих виробів в виборці з п'яти деталей, якщо випадкова величина Х (кількість бракованих деталей) задана рядом розподілу

Х	0	1	2	3	4	5
Р	0,2373	0,3955	0,2637	0,0879	0,0146	0,0010

Розв'язання.

М(Х) = 0·0,2373 + 1·0,3955 + 2·0,2637 + 3·0,0879 + 4·0,0176 + 5·0,0010 = 1,25.

Приклад 2.Обчислить дисперсію та середнє квадратичне відхилення кількості бракованих деталей для розподілу прикладу 1.

Розв'язання.

З визначення дисперсії

D[X] = (0-1,25)²·0,2373 + (1 – 1,25)²·0,3955 + (2 – 1,25)²·0,2637 + (3 – 1,25)²·0,0879 +

(4 – 1,25)²·0,0146 + (5 – 1,25)²·0,010 = 0,938;

_____

σ = √ 0,938 =0,9685

44