2.Навчальний матеріал

Тема:Поняття диференціалу, геометричний зміст.

1.

Означення. Якщо функція f диференційована в точці х,то вираз f'(x)Δx називають диференціалом даної функції у точці х і позначають df(x), або dу.

2. Нескінчено малий приріст називають диференціалом аргумента і позначають dx,

тому df(x)=f'(x)dx, тобто коротко dy = y'dx, тобто диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал аргумету.

3. Геометрично диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної до графіка функції в точці.Рівняння дотичної до кривої у = f(x) в точці (х₀,f(х₀)):

у = f(x₀) + f(x₀)(x – x₀).

4. З означення диференціала випливає, що він лінійно залежить від Δх і є головною частиною приросту. Якщо значення приросту досить малі, то членами більш високого порядку малості можна знехтувати. Тобто будемо вважати, що

Δу =dy, або f(x₀+Δx)≈f(x₀)+f'(x₀)Δx

__

Приклад.Обчислити наближено ⁵√36 .

__ _____ _____

⁵√ 36 = ⁵√ 32+4 = 2⁵√1 + 1/8.

Розглянемо функцію _

у = ⁵√х.

Будемо вважати,що х₀=1, Δх=1/8, тоді згідно з формулою маємо:

f(x₀+Δx)≈ f(x₀) + f'(x₀)Δx

______

2⁵√1 + 1/8 ≈ 2(1 +(1/5)(1/8))=2,05

36

3. Контрольні завдання.

Тести.

1.Чому дорівнює диференціал функції f?

2.Знайти диференціал функції в точці х.

3.Дано функцію у та приріст. Визначити точку х в якій дано диференціал dy.

Варіант 1 Варіант 2

1.f(x)=cos x ; f(x)= sin 5x;

2.у = 3х²+х-1 в точці х = 1, якщо Δх=0,1; у = 2х³-х+2 в точці х= 2, якщо Δх=0,01;

_ _

3.у =√х , Δх=0,1.Знайти х, якщо dy=100; у = ³√ х, Δх=0,01.Знайти х, якщо dy=10.

Варіант 3 Варіант 4

1.f(x)= tg 2x f(x)= 5x²+ 4

2.у = х²-х -3 в точці х =2, якщо Δх=1; у = х³+2 в точці х =3, якщо Δх =0,1;

_ _

3.у=√х,Δх =1. Знайти х,якщо dy = 10² y = ³√x, Δx =2.Знайти х,якщо dy= 0,1.

Варіант 5 Варіант 6

1.f(x)=x³-4x; f(x)= 4- sin2x;

2.у =х³-х в точці х=1, якщо Δх =0,1; у =2х-2 в точці х=3, якщо Δх = 0,01;

_ _

3.у=³√х, Δх=1.Знайти х, якщо dy=10³; у = ⁴√х, Δх =2.Знайти х, якщо dy = 10²/

37

Інструкційна картка № 9

з самостійного опрацювання навчального матеріалу

з математики.

Тема:Застосування методу інтегрування частинами у визначенні невизначеного інтегралу.

Мета:Ознайомитись є методом інтегрування частинами та виробити вміння та навики застосування даного методу до визначення невизначеного інтегралу.

Ι План самостійного вивчення теми.

1.Означення невизначеного інтегралу.

2.Виведення формули інтегрування частинами.

3.Застосування формули до інтегрування тригонометричних функцій.

4.Застосування формули до інтегрування логарифмічних функцій.

5.Визначення інтегралів.

ΙΙ Методичні рекомендації.

З метою вивчення даної теми необхідно знати означення невизначеного інтеграла та відповідні табличні значення.Виконувати процес інтегрування та диференціювання, мати навики підстановки в формулу.

ΙΙΙ Контрольні запитання та завдання.

1.Означення невизначеного інтегралу.

2.Властивості невизначеного інтегралу.

3.Знання таблиці невизначених інтегралів.

4.Виведення формули інтегрування частинами.

5.Інтегрування частинами різних видів інтегралів.

ΙV Література.

1.Шкіль М.І. Алгебра і початки аналізу. 11 клас, поглиблене вивчення.

V Підсумки.

Знання відповідей на запитання та вміння користуватись формулою інтегрування частинами з метою визначеня невизначених інтегралів.

38