2.Навчальний матеріал.

Тема: Гармонічні коливання.

1.Поняття гармонічних коливань та його елементів.

За допомогою тригонометричних функцій вивчають періодичні процеси.Найпростішим з таких процесів є гармонічні коливання, які описуються залежно від часу t функцією

y = Asin (ωt + φ).

Справді, нехай Т ≠0 – період функції. Тоді

Asin (ω(t+T) +φ) = A sin(ωt+φ), для всіх t.

Якщо ωt +φ=t, то sin(t₁+ωT) = sin t₁.Оскільки найменший додатний період синуса дорівнює 2π, то ωT =2π, звідки T=2π/ω.

Якщо φ = 0, тобто початкова фаза дорівнює нулю, то y = Asin ωt. Коли

φ= π/2, маємо у= Аcosωt. Коливний рух, який здійснюється за цими законами, називають прямолінійним гармонічним коливанням.

2.Приклади процесів, які відбуваються за законом гармонічного коливання.

a) Якщо на тонкий прямокутний стержень діє сила, що стискує його вздовж осі Ох, то стержень деформується.Коли сила досягає певного значення, то стержень вигинається і приймає форму половини хвилі синусоїди

y = Asin(πx)/t.

b) У ланцюгу змінного струму залежність між силою струму І та часом t виражається формулою

I = I_m sin(ωt + φ).

3.Формули зведення функцій до виду гармонічних коливань.

Запишемо функцію у = Asin (ωt + φ) інакше. Маємо:

y = A(sin ωtcosφ + cosωtsinφ) = A₁cosωt + B₁sinωt.

A₁=Asinωt B₁= Acosωt.

Можна довести, що функцію у = А₁cosωt + B₁sinωt можна завжди подати у вигляді у = Аsin(ωt + φ) .

Cправді, маючи рівність

А₁cosωx + B₁sinωx = A sin(ωx + φ),

Небхідно визначити А і φ через задані числа А₁ і В₁.

Дістанемо

A₁cosωx + B₁sinωx = Asinφ cos ωx + Acos φ sin ωx.

Прирівнюючи коефіцієнти зліва і справа при cos ωx та sin ωx дістанемо:

A₁ = A sinφ, B₁ = B cos φ, звідки матимемо формули для обчислення А та φ:

________

А = √ А₁² + В₁², tgϕ = A₁/B₁.

25

4.Приклад зведення функції до виду гармонічного коливання.

_

Зведемо функцію у= cos 2x + √3sin 2x до вигляду гармонічного коливання.

Розв'язання.

Визначимо амплітуду А та початкову фазу φ:

_____ _

A = √ 1 + 3, tgφ = 1/√3 , φ=π/6.

Тоді y = 2 sin (2x + π/6).Період цієї функції Т = π. Г рафік утвореної функції

f(x)= 2 sin 2(x + π/12) можна дістати з графіка функції sin x, виконавши такі перетворення.

5.Перетворення графіків функцій в системі координат:

а)стиск до осі Оу у 2 рази, в результаті дістанемо графік функції sin2x;

б)паралельне перенесення вздовж осі Ох на π/12 одиниць вліво; дістанемо графік функції sin 2(x + π/12);

в)розтяг від осі Оу в 2 рази.В результаті дістанемо графік функції

2sin 2(x + π/12).

26