§ 3. Сложное суждение

Сложным называется суждение, содержащее логические связки и состоящее из нескольких простых суждений. Простые суждения обозначаются отдельными латинскими буквами: a, b, c, d,… Отвлекаясь от сложной внутренней структуры простого суждения, его количества и качества, мы удерживаем лишь одно свойство суждения – то, что оно может быть истинным или ложным. Логические связки представляют собой формальные аналоги союзов нашего родного естественного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов «однако», «или» и т. п., так и сложные суждения строятся из простых с помощью логических связок.

Вопрос об истинности или ложности простых суждений в конечном итоге всегда решается посредством обращения к той реальности, к которой относятся наши суждения. Но как установить истинность или ложность высказываний с логическими связками, т. е. сложных суждений? Поскольку это не вопрос конкретных наук и материальной практики, а чисто логический, в логике приняты договоренности относительно того, когда высказывания с той или иной логической связкой считаются истинными, а когда – ложными. Соглашения такого рода выражаются таблицами истинности.

Для характеристики истинностных значений сложных суждений необходимо знать определения основных логических операций, посредством которых образуются сложные суждения иp простых и способы табличного определения их истинности.

• Конъюнкция двух или нескольких простых суждений образуется путем их объединения логической связкой «и» (в естественном языке ей соответствуют союзы «и», «а», «но», «однако», «да», «хотя» и т. п.). Чаще всего конъюнкция обозначается символом «&». Пример: «Никто не забыт, и ничто не забыто», схема – a & b. Такое сложное суждение называют соединительным.

Условия истинности суждения a & b могут быть продемонстрированы таблицей истинности. Для построения такой таблицы в левых столбцах важно соблюдать порядок чередования значений «истина» и «ложь» для конъюнктов. Для этой цели у суждения b значения «истина» и «ложь» чередуются друг за другом, а у суждения a два раза используется значение «истина», два раза – «ложь».

a	b	a&b
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	л

Суждение a & b истинно только в том случае, если истинны входящие в него конъюнкты; во всех других случаях конъюнктивное суждение ложно.

Вообще, количество строк в таблице задано количеством переменных. Они вычисляются по формуле: 2ⁿ, где n – количество переменных. Если переменных 2 (как в примере), то строк будет 4; если 3 – 8; если 4 – 16 т.п.

Приведем пример построения таблицы истинности для трех переменных (a, b, c).

а	b	c
и	и	и
и	и	л
и	л	и
и	л	л
л	и	и
л	и	л
л	л	и
л	л	л

Обратите внимание, что чередование значений «истина»-«ложь» у переменной a дано через 4, у переменной b – через 2.

Таким способом строится таблица не только для соединительных, но и для любых других сложных суждений.

• Дизъюнкция двух или нескольких простых суждений образуется путем объединения их логической связкой «или» («либо»). Оператор дизъюнкции обозначается символом «V». Пример: «У данного больного растяжение связок или ушиб», схема – а V b. Сложное суждение такого типа называют разделительным.

Рассмотрим истинность дизъюнкции, для чего вновь обратимся к таблице истинности:

a	b	a V b
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

Суждение а V b истинно во всех случаях, кроме того, когда два его члена (дизъюнкта) ложны.

• Строгая (исключающая) дизъюнкция объединяет простые суждения исключающей связкой «или – или» («либо – либо») и обозначается символом « » или «V». К примеру, формальный вид суждения «Пациент либо жив, либо мертв» таков: a b.

Истинность строгой дизъюнкции выглядит следующим образом (см. ниже расположенную таблицу):

a	b	a b
и	и	л
и	л	и
л	и	и
л	л	л

Поскольку a и b исключают друг друга, постольку они не могут быть ни одновременно истинными, ни одновременно ложными.

• Импликация состоит в образовании сложного суждения из двух простых посредством логической связки, обозначаемой словами «если…, то», приблизительно соответствующей условному предложению в естественном языке, и выглядит следующим образом: a → b. Пример: «Если через проводник проходит электрический ток, то проводник нагревается». Первый член импликации называется основанием (антецедентом), второй – следствием (консеквентом). Такое суждение называют условным.

Составим таблицу истинности для импликативного суждения (см. ниже следующую таблицу):

a	b	a → b
и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	л	и

Импликация ложна только в том случае, если из истинности антецедента вытекает ложность консеквента. В других случаях импликативное суждение истинно.

• Эквивалентность (равнозначность) объединяет два суждения с взаимной (прямой и обратной) условной зависимостью. Она называется еще двойной импликацией, образуется посредством логической связки «если и только если», «тогда и только тогда, когда», обозначается так: a ↔ b или a ≡ b. «Если и только если человек достиг пенсионного возраста, то он имеет право на получение пенсии по возрасту».

a	b	a ≡ b
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	и

Если оба простых суждения принимают одинаковые значения, то эквивалентное суждение истинно, в других случаях – ложно.

• Отрицание, с помощью которого из данного суждения образуется противоречащее ему высказывание. Языковая форма – «не», «неверно, что», символическая – « » или « а». Например, «Неверно, что Земля шар», схема – .

a
и	л
л	и

При отрицании истинное значение суждения сменяется

на ложное, и наоборот.

Мы рассматривали до сих пор лишь самые элементарные сложные суждения, состоящие из двух простых суждений и одной логической связки. Однако логические связки могут соединять и сложные суждения, порождая, таким образом, все более сложные структуры. Например, суждение «Мы получим большое удовольствие, если пораньше освободимся и сходим в сауну» в записи выглядит так: (b&c)→a.

Сводная таблица истинности сложных суждений строится по следующему принципу: какими бы ни были суждения a или b, если они принимают значения, выписанные в двух левых столбцах приведенной ниже таблицы, то суждения, образованные связыванием их отрицанием, конъюнкцией, дизъюнкцией (простой и строгой), импликацией, эквиваленцией, принимают значения, выписанные в шести правых столбцах.

a	b		a & b	а V b	a b	a→b	a≡b
и	и	л	и	и	л	и	и
и	л	л	л	и	и	л	л
л	и	и	л	и	и	и	л
л	л	и	л	л	л	и	и

Нетрудно заметить, что определение истинности сложного суждения сводится, в сущности, к вычислению ее на основе значений истинности простых суждений. При некотором навыке процесс вычисления с помощью таблицы можно ускорить. Сокращенный способ вычисления истинности сложного суждения основывается на установлении главной логической операции в рассматриваемой формуле.