7.7 Уравнение Бернулли в форме напоров.

В практических приложениях широко используется другая форма уравнения Бернулли - форма напоров. Разделив обе части уравнения (7.26) на ускорение свободного падения g, получаем

(7.27)

Рис. 7.1

Каждый член (7.27) имеет линейную размерность и выражает напор, под которым в общем случае понимают высоту столба жидкости, уравновешивающую давление в данной точке. Таким образом, z - геометрический напор, характеризующий положение жидкой частицы над какой-то произвольной плоскостью, называемой плоскостью отсчета; - пьезометри­ческий напор - высота столба жидкости, уравновешивающая давление в данной точке;- скоростной напор, представляющий собой высоту столба жидкости в так называемой трубке полного напора (трубке Пито). Принцип действия этого устройства легко уясняется из рис. 7.1.

Сумма двух первых членов носит название гидростатического напора, а трех - полного либо гидродинамического напора. Таким образом, уравнению Бернулли придается геометрическое толкование, которое сводится к следующему. Сумма трех высот: геометрической (z), пьезометрической () и скоростной () есть величина постоянная вдоль струйки. Либо, что то же самое, полный либо гидродинамический напор при движении вдоль струйки остается неизменным. Сказанное иллюстрируется рис. 7.2, который иногда называют диаграммой уравнения Бернулли.

На рис. 7.2 N-N - напорная линия; O-O - плоскость (линия) отсчета; P-P - пьезометрическая линия, лежащая ниже напорной на величину скоростного напора в данном сечении.

Рис. 7.2

8. Гидродинамика вязкой жидкости

8.1 Модель вязкой жидкости

Приступая к рассмотрению движения вязкой жидкости, необходимо прежде всего уяснить терминологию , т. е. смысл, вкладываемый в понятие «вязкая жидкость». С математических позиций необходимо установить вид функциональной зависимости для напряжений, либо, другими словами, сформировать модель вязкой жидкости. В дальнейшем под вязкой мы будем понимать жидкость, удовлетворяющую трем гипотезам: линейности, однородности и изотропности.

8.1.1. Гипотеза линейности .

Применим закон Ньютона к жидкости, движущейся параллельно плоскости xOy (рис. 8.1), что дает

Воспользуемся результатом, полученным при рассмотрении теоремы Гельмгольца о движении жидкой частицы. Согласно теореме, скорость угловой деформации относительно оси y

Так как движение происходит в плоскости xOy, то и

и, следовательно, касательное напряжение

(8.1)

Рис. 8.1

Полученный результат иллюстрирует так называемый закон трения Стокса. Согласно этому закону, напряжения, возникающие в жидкости, в отличие от твердого тела, пропорциональны не величинам, а скоростям деформаций, и связаны с ними линейной зависимостью. При этом коэффициент пропорциональности остается неизменным и равным 2m.

Кроме того, согласно закону Стокса касательные напряжения, как показано выше, пропорциональны скоростям угловой деформации, а нормальные - скорости линейной деформации, т.е. ,,.

Таким образом, можем записать

(8.2)

и т.д.

Рассмотрим теперь нормальные напряжения, возникающие от сил вязкости. Согласно закону Стокса, их можно записать в виде так называемых девиаторов напряжения, имеющих вид:

(8.3)

Полные нормальные напряжения отличаются тем, что помимо записанных выше в любой, как в вязкой, так и в невязкой жидкости, действуют и статические давления. Другими словами

(8.4)

Выполним следующую операцию: из утроенной величины вычтем сумму (). Это дает:

откуда найдем

В качестве давления в вязкой жидкости принимают среднее арифметическое, т.е. . И, следовательно,

(8.5)

Для несжимаемой жидкости , и выражения упрощаются.