6.9. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра.

Продолжим рассмотрение метода наложения потоков. Полученное в примере 6.5 течение, называемое диполем, на первый взгляд носит достаточно абстрактный характер. Однако, как будет показано ниже, такая точка зрения не совсем справедлива. Используя понятие диполя, можно получить весьма интересные и полезные для практических приложений результаты. Для подтверждения этого проанализируем течение, возникающее при наложении прямолинейного поступательного потока на диполь с центром, расположенным в начале координат. Прямолинейный поток движется вдоль оси Ox со скоростью, равной единице, т.е. ;. Потенциал скорости

и с точностью до произвольной постоянной.

Функция тока и . Если, как принято в условии, , то и . Примем для упрощения выкладок момент диполя , тогда и . Складывая потенциалы и функции тока, получаем и .

Найдем линии тока, для чего приравняем функцию тока постоянной: , откуда

(6.33)

Из чего следует, что линии тока течения представляют семейство кривых третьего порядка. Найдем нулевую линию тока, т.е. линию, для которой . Это дает два уравнения:

и,

т.е. линия тока представляет собой ось x-ов и окружность единичного радиуса с центром в начале координат (см. рис. 6.12). Это позволяет рассматривать окружность как твердую границу и течение вне ее, что приводит к задаче обтекания бесконечно длинного цилиндра.

Рис. 6.12

Покажем, что на достаточно большом удалении от цилиндра скорость направлена вдоль оси x и равна . Найдем проекции скоростей и .

Имеем: ,

Откуда ;

аналогично .

Для дальнейшего удобно перейти к полярным координатам, имея в виду, что и . Подстановка этих значений в выражения для и дает:

(6.34)

(6.35)

Перейдем к пределу. При получаем и , т.е. то, что и требовалось доказать.

Точки B и A, показанные на рис. 6.12, являются так называе­мыми особыми либо критическими точками, т.к. скорость в них обра­щается в нуль. Покажем, что это действительно так, для чего запишем выражение для потенциала скорости в полярных координатах:

;

(6.36)

Найдем проекции скорости в произвольной точке на произвольной линии тока (рис. 6.13). Имеем:

;

.

На поверхности цилинд­ра и , т.е. обтекание безотрывно. Компонента . В общем случае, когда ,

(6.37)

Рис. 1.13

Знак «минус» указывает на то, что направление скорости на верхней половине цилиндра противоположно положительному направлению отсчета угла . В точках B и A () скорости равны нулю, т.е. действительно эти точки являются критическими.

6.10. Применение теории функций комплексного переменнго к изучению плоских потоков идеальной жид-кости.

Рассматриваемый ниже метод относится к числу наиболее эффективных способов анализа плоских потоков. Вернемся к полученным выше (см. 6.15) соотношениям Коши-Римана. Они показыва­ют, что комплексная комбинация этих двух функций (т.е. j и ) от действительных переменных x и y, т.е. , является аналитической функцией комплексного переменного . Другими словами, эти условия показывают, что существует функция комплексной переменной либо просто W, вещественная и мнимая части которой j и соответственно, т.е.

(либо ).

Функция называется аналитической в данной точке, если она дифференцируема как в самой точке , так и в некоторой ее окрестности. В гидромеханике функция называется комплексным потенциалом. Следует отметить, что теория аналитических функций является одной из наиболее разработанных ветвей классической математики. Обстоятельное изучение этого материала далеко выходит за рамки курса. Ограниченный объем данного пособия позволяет привести лишь весьма краткие сведения, необходимые для уяснения самой общей идеи метода. При необходимости подробное и обстоятельное изложение его можно найти в книге: Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. - К.: Наукова думка, 1964. - 530 с.

Интересующиеся приложениями теории функций комплексного переменного для решения технических задач, в частности, задач гидромеханики, могут обратиться к книге: Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1987. - 688 с.

Как показывается в теории функций комплексного переменного, производная от комплексного потенциала по комплексному же переменному имеет вид

(6.38)

Это выражение называется комплексной скоростью. Модуль этой величины дает саму скорость, т.е.

(6.39)

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 6.6. Пусть течение задано комплексным потенциалом , где a - действительное число. Имея в виду, что и , можно записать:

Разделяя действительную и мнимую части, получаем:

и .

Этот поток рассмотрен выше в примере 6.2. Обратим лишь внимание на то, что с помощью комплексного потенциала результат достигается более коротким путем.

Найдем комплексную скорость. Имеем:

;

; ;

;

,

т.е. частицы движутся по гиперболическим линиям тока со скоростью .