1.1. Векторы и операции над ними.

Полем какой-либо величины называется пространство, в каждой точке которого эта величина вполне определена. Если эта величина скаляр, т.е. характеризуется одним числом, то поле называют скалярным (поле плотности, поле температуры).

Векторным называется поле, которое характеризуется в каждой точке пространства величиной и направлением. К этому следует лишь добавить, что непременным условием, связанным с векторными величинами, является то, что они должны складываться по правилу параллелограмма. Поэтому, например, поток автомашин, движущихся по улице и характеризующийся как величиной, так и направлением не является вектором.

Единичные векторы (орты) в декартовой системе координат будем обозначать ,,. Тогда векторможет быть представлен как

(1.2)

где ,,- проекции (компоненты) вектора на соответствующие оси координат.

Скалярное произведение двух векторов дает скалярную величину

(1.3)

где a - угол между векторами.

Ясно, что скалярное произведение обращается в нуль, если векторы ивзаимно перпендикулярны.

Векторное произведение двух векторов.

В противоположность скалярному произведению, здесь первое слово указывает на то, что результат действия есть вектор. Векторное произведение может быть записано в виде определителя третьего порядка

(1.4)

Раскрывая определитель по общим правилам, получаем:

(1.5)

1.2. Операции первого порядка (дифференциальные характеристики поля).

В теории поля рассматриваются три так называемые операции первого порядка. Эти операции позволяют, выполнив определенные математические действия, превратить:

- скалярную величину в векторную;

- векторную величину в скалярную;

- векторную - в другую векторную;

Эти операции соответственно называются - градиент, дивергенция и ротор (вихрь). Рассмотрим каждую из них.

Градиент какой-то скалярной функции есть вектор, образующийся в результате выполнения следующих действий:

(1.6)

Физически градиент есть вектор, в направлении которого функция в данной точке поля изменяется с максимальной скоростью.

Дивергенцией вектора называется выражение вида

(1.7)

Следовательно, любое векторное поле дает некоторое скалярное поле, а именно поле своей дивергенции (расходимости). Если , то поле называют соленоидальным.

Вихрь поля (ротор) - это вектор, образующийся при выполнении операции

(1.8)

Если , то поле называют безвихревым.

Каждая из трех операций имеет гидродинамическую интерпретацию, которая приводится в соответствующих разделах курса.

1.3. Операции второго порядка.

Операции ,,, переводящие скаляр в вектор, вектор в скаляр и вектор в вектор порождают пять операций второго порядка:

- превращение скалярной величины в векторную

;

- превращение векторной величины в скалярную

;

;

- превращение одной векторной величины в другую

;

.

В теории поля показывается, что два из этих пяти соотношений тождественно равны нулю: и. Операцияносит название оператора Лапласа для скалярного поля и имеет вид

(1.9)

1.4. Интегральные соотношения теории поля.

1.4.1. Поток векторного поля.

Пусть dS (рис. 1.1) - элемент поверхности, а - единичный вектор, направленный по внешней нормали. Потоком векторного поля (например,) называют поверхностный интеграл вида

(1.10)

Рис. 1.1

Если рассматривается векторное поле ротора (), то поток этого поля представляется как

(1.11)

1.4.2. Циркуляция вектора поля.

Пусть рассматривается векторное поле какой-то величины . Циркуляцией векторавдоль контураL называют криволинейный интеграл вида

(1.12)

Иногда этот интеграл интерпретируется как «работа» векторного поля вдоль контура L. Если циркуляция векторного поля вдоль замкнутого пути (контура) равна нулю, то поле называют потенциальным.

1.4.3. Формула Стокса.

Эта формула позволяет преобразовать криволинейный интеграл вдоль замкнутой пространственной кривой в поверхностный интеграл по поверхности, натянутой на эту кривую, т.е.

(1.13)

т.е. циркуляция вектора поля вдоль контура равна потоку вихря через поверхность, ограниченную этим контуром.

1.4.4. Формула Гаусса-Остроградского.

Это соотношение, часто называемое преобразованием Гаусса-Остроградского, связывает поверхностный интеграл по замкнутой поверхности с тройным интегралом по области, ограниченной этой поверхностью

(1.15)

Формула показывает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции поля по объему, ограниченному этой поверхностью.

В механике жидкости широко используется формула, являю­щаяся следствием формулы Гаусса-Остроградского для скалярного поля

(1.16)

где - какая-то скалярная функция.