
- •Конспект лекций по теоретической механике
- •Введение
- •Лекция 1 основные понятия статики. Аксиомы статики
- •Основные понятия
- •Аксиомы статики
- •Связи и их реакции. Аксиома связей
- •Равновесие сходящейся системы сил
- •Теорема о трех силах
- •Лекция 2 равновесие плоской системы сил
- •Сложение двух параллельных сил, направленных в одну сторону
- •Сложение двух параллельных сил, направленных в противоположные стороны
- •Пара сил и её свойства
- •Условие равновесия пар
- •Момент силы относительно центра
- •Плоская система сил
- •Приведение произвольной плоской системы сил к данному центру
- •Теорема Вариньона
- •Условия равновесия плоской системы сил
- •Лекция 3 равновесие пространственной системы сил. Центр тяжести
- •Пространственная система сил. Равнодействующая пространственной системы сходящихся сил
- •Равновесие пространственной системы сходящихся сил
- •Момент силы относительно оси
- •Равновесие произвольной пространственной системы сил
- •Частные случаи равновесия
- •Сила тяжести и центр тяжести однородных тел
- •Координаты центров тяжести однородных тел
- •Лекция 4 кинематика точки
- •Аналитические способы задания движения точки в пространстве
- •Векторно-координатный способ задания движения точки
- •Естественный способ задания движения точки
- •Определение скорости точки при различных способах задания движения
- •Векторно-координатный способ задания движения
- •Естественный способ задания движения
- •Определение ускорения точки при различных способах задания движения
- •Векторно-координатный способ задания движения
- •Естественный способ задания движения точки. Понятие о естественном трехграннике
- •Частные случаи движения точки
- •Лекция 5 простейшие движения твердого тела
- •Поступательное движение твердого тела
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Угловая скорость
- •Угловое ускорение
- •Равномерное и равнопеременное вращение
- •Определение скоростей и ускорений точек вращающегося тела. Скорости точек тела
- •Лекция 6 плоскопараллельное движение твердого тела (определение скоростей)
- •Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное
- •Определение скоростей точек твердого тела
- •Теорема о проекциях скоростей двух точек тела
- •Мгновенный центр скоростей
- •Частные случаи определения мгновенного центра скоростей
- •План скоростей
- •Лекция 7 плоскопараллельное движение твердого тела (определение ускорений)
- •Лекция 8 динамика точки
- •Законы классической механики
- •Задачи динамики
- •Дифференциальные уравнения движения точки
- •Дифференциальные уравнения в проекциях на оси естественного трехгранника
- •Алгоритм решения основной задачи динамики
- •Лекция 9 динамика механической системы
- •Теорема о движении центра масс механической системы
- •Закон сохранения движения центра масс
- •Момент инерции тела относительно оси, радиус инерции
- •Моменты инерции некоторых тел
- •1. Тонкий однородный стержень длиной l и массой м.
- •2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом r и массой м.
- •3. Круглая однородная пластина (диск).
- •Момент инерции тела относительно параллельных осей
- •Лекция 10 теорема об изменении количества движения механической системы
- •Закон сохранения количества движения
- •Лекция 11 главный момент количеств движения (кинетический момент) системы относительно центра и оси
- •Закон сохранения момента количества движения точки
- •Кинетический момент вращающегося тела
- •Теорема об изменении главного момента количеств движения механической системы (теорема моментов)
- •Законы сохранения главного момента количеств движения
- •Частный случай вращающейся системы
- •Лекция 12 теорема об изменении кинетической энергии
- •Графический способ вычисления работы
- •Мощность
- •Примеры вычисления работы
- •Кинетическая энергия точки
- •Кинетическая энергия системы
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •Система с идеальными связями
- •Вычисление работы сил, приложенных к вращающемуся телу
- •Лекция 13 принцип даламбера
- •Приведение сил инерции твердого тела
- •Динамические реакции, действующие на ось вращающегося тела
- •Лекция 14 принцип возможных перемещений. Принцип даламбера – лагранжа (общее уравнение динамики)
- •Классификация связей
- •Возможные (виртуальные) перемещения
- •Число степеней свободы
- •Идеальные связи
- •Принцип возможных перемещений
- •Равновесие рычага (золотое правило механики)
- •Принцип Даламбера–Лагранжа (общее уравнение динамики)
- •Лекция 15 уравнения лагранжа -го рода
- •Обобщенные силы
- •Примеры вычисления обобщенной силы
- •Условие равновесия системы в обобщенных силах
- •Уравнения Лагранжа
- •Лекция 16 элементарная теория удара твердых тел
- •Основное уравнение теории удара
- •Общие теоремы теории удара
- •Коэффициент восстановления при ударе
- •Экспериментальное определение коэффициента восстановления
- •Прямой центральный удар двух тел (удар шаров)
- •Рекомендуемая литература
- •Содержание
- •Конспект лекций по теоретической механике
Моменты инерции некоторых тел
1. Тонкий однородный стержень длиной l и массой м.
Найдем момент инерции относительно оси Az.
Для любого отрезка dx
величина h = x, а масса
,
где = M/l
– масса единицы длины стержня.
.
Подставляя значение
, получим
.
2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом r и массой м.
Все точки кольца равноудалены от его центра C, следовательно:
.
Таким образом,
.
Таким же будет результат и для цилиндрической оболочки.
3. Круглая однородная пластина (диск).
Выделим элементарное
кольцо радиусом r, шириной dr .
Площадь кольца S = 2∙r∙dr.
,
где
,
тогда
.
Интегрируя, получим
.
Подставив
значение , получим
.
Момент инерции тела относительно параллельных осей
Теорема Гюйгенса. Моменты инерции данного тела относительно разных осей будут, в общем случае, разными. Зная JС относительно одной оси, можно найти JО относительно другой, ей параллельной.
Проведем
оси
через центр масс С
и оси x,
y,
z,
параллельные осям
,
через произвольную точку O
, лежащую на оси
.
Пользуясь формулами (3), запишем:
.
Из рисунка видно, что
.
Тогда
,
;
;
.
Т.к. точка С является центром тяжести, то
Следовательно, третья сумма равна нулю, тогда
.
Итак, теорема Гюйгенса формулируется следующим образом: момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно центральной оси, ей параллельной, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.
Очевидно, что
,
следовательно, момент инерции тела,
относительно оси, проходящей через
центр масс, будет наименьшим для всех
осей данного направления.
Лекция 10 теорема об изменении количества движения механической системы
Количество движения точки и механической системы и его вычисление через скорость центра масс. Теоремы об изменении количества движения точки и системы
Количеством движения
материальной точки называется
векторная величина
,
равная произведению массы точки на
вектор ее скорости.
Единица измерения
– кг·м/с или Н·с.
Элементарным импульсом
силы называется векторная величина
,
равная произведению вектора силы
на элементарный промежуток времени
:
Импульс
силы за некоторый промежуток времени
t1
равен определенному интегралу от
элементарного импульса, взятому в
пределах от 0 до t1.
Если сила F
постоянна по модулю и направлению, то
.
В общем случае модуль
может быть вычислен по его проекциям
на координатные оси:
;
;
.
Единица измерения [s] – Нс = кг·м·с/с2 = кг·м/с.
По второму закону Ньютона,
,
а т.к.
,
то
.
Таким образом, теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме формулируется в следующем виде: производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на нее сил.
Умножим обе части равенства на dt и проинтегрируем:
или
.
Теорема об изменении количества движения материальной точки в интегральной форме: изменение количества движения за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.
Количеством
движения механической системы
называется векторная величина
,
равная геометрической сумме (главному
вектору) количеств движения всех точек
системы:
.
Радиус-вектор центра масс:
или
.
Продифференцируем левую и правую части этого уравнения по времени:
.
Следовательно,
.
Количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.
Очевидно, что при VC = 0, Q = 0, например, при вращении тела относительно оси, проходящей через центр масс тела.
Если движение тела сложное или плоскопараллельное, то количество движения Q не зависит от вращательного движения вокруг центра масс (например, колесо катится по рельсу). Количество движения – характеристика поступательного движения тела, а при сложном движении – характеристика поступательной части движения вместе с центром масс.
Рассмотрим систему из n материальных точек. Составим уравнения движения для каждой точки и сложим их:
.
Т.к.
(свойство внутренних сил), то
. (1)
Производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.
В проекциях на оси координат выражение (1) записывается в виде:
,
,
.
Разделив переменные и взяв интеграл, получим запись теоремы об изменении количества движения в конечной форме:
или
. (2)
В проекциях на координатные оси выражение (2) записывается в виде:
При
решении задач о движении твердого тела
удобнее пользоваться теоремой о движении
центра масс
.
Однако в задачах с газами, жидкостью,
реактивным движением и ударом
целесообразнее пользоваться теоремой
об изменении количества движения
.