Законы классической механики

В основе динамики лежат законы, установленные опытным путем в результате наблюдения движения тел. Впервые эти законы были изложены И. Ньютоном в 1687 г. в сочинении "Математические начала натуральной философии".

Закон I. Изолированная материальная точка сохраняет без изменения величину и направление своей скорости.

Т.е. изолированная точка находится в покое или движется равномерно и прямолинейно; можно сказать также, что ее ускорение равно нулю.

Таким образом, установлено, что точка М не может сама изменить свою скорость, для этого ей необходимо внешнее воздействие. Первый закон динамики выражает основное свойство материального тела – неспособность сообщить самому себе ускорение. Это свойство называется инертностью материи. Принцип инертности установил Г. Галилей. Прямолинейное равномерное движение называется движением по инерции.

Существенным является вопрос о том, по отношению к какой системе отсчета справедлив закон инерции. Т.к. закон имеет эмпирическое происхождение, то должны существовать и системы отсчета, в которых он выполняется. Такие системы называют инерциальными системами отсчета. Для Солнечной системы инерциальной, с высокой степенью точности, можно считать систему с началом координат в центре Солнца и осями, направленными на неподвижные звезды. При решении большинства технических задач с достаточной для практики точностью инерциальной можно считать систему координат, жестко связанную с Землей.

Закон II. Произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы:

.

Это равенство называют основным уравнением динамики.

Если на точку одновременно действуют несколько сил, то они будут эквивалентны одной силе (равнодействующей):

или .

Закон III. Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки.

Этот закон широко используют в разделе «Статика».

Задачи динамики

Для свободной материальной точки рассматривают две задачи динамики.

Первая задача динамики: зная закон движения точки, определить действующую на нее силу.

Вторая (основная) задача динамики: зная действующую на точку силу, определить закон движения.

Для несвободной точки М, закон движения которой определен поверхностью, направляющими и т.п., обычно, зная активные силы, определяют реакции связей (первая задача). Определение закона движения точки является основной задачей.

Дифференциальные уравнения движения точки

Из кинематики известно, что в прямоугольных декартовых координатах движение точки задается уравнениями:

x = f₁ (t), y = f₂ (t), z = f₃ (t).

Р ассмотрим материальную точку, д вижущуюся под действием сил F₁, F₂ ... F_n. Проецируем равенство на оси x, y, z. Учитывая, что , , , получим , , .

Это и есть дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах. Силы в правых частях уравнений в общем случае могут зависеть от координат x, y, z, от скоростей или от времени t.