Билет n12

1. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение. Энергия гармонического осциллятора.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

(Любое нетривиальное решение этого дифференциального уравнения — есть гармоническое колебание с циклической частотой ( )

Энергия гармонического осциллятора

2) Применение первого начала термодинамики к изохорическому, изобарному, и изотермическому процессам. Среди равновесных процессов, которые происходят с термодинамическими системами, отдельно рассматриваются изопроцессы, при которых один из основных параметров состояния остается постоянным.  Изохорный процесс (V=const). Диаграмма этого процесса (изохора) в координатах р, V изображается прямой, параллельной оси ординат (рис. 1), где процесс 1—2 есть изохорное нагревание, а 1—3 — изохорное охлаждение. При изохорном процессе газ не совершает работы над внешними телами, т. е.

Q=dU т.к. C_V=dU_m/dt,  Q=dU   Тогда для произвольной массы газа получим   (1) Q=dU=   Изобарный процесс (p=const). Диаграмма этого процесса (изобара) в координатах р, V изображается прямой, которая параллельна оси V. При изобарном процессе работа газа при увеличения объема от V₁ до V₂ равна  Q=dU=   (2)  и равна площади заштрихованного прямоугольника (рис. 2). Если использовать уравнение Менделеева-Клапейрона для выбранных нами двух состояний, то  Q=dU=   и pV2=   откуда  V(2)-V(1)=  Тогда выражение (2) для работы изобарного расширения примет вид  A=  (3)  Из этого выражения вытекает физический смысл молярной газовой постоянной R: если T₂ —T₁ = 1К, то для 1 моль газа R=A, т. е. R численно равна работе изобарного расширения 1 моль идеального газа при нагревании его на 1 К.  В изобарном процессе при сообщении газу массой m количества теплоты  Q=  его внутренняя энергия возрастает на величину (т.к. C_V=dU_m/dt)  dU= При этом газ совершит работу, определяемую выражением (3).  Изотермический процесс (T=const). Изотермический процесс описывается законом Бойля—Мариотта:   dU= Диаграмма этого процесса (изотерма) в координатах р, V представляет собой гиперболу, которая расположена на диаграмме тем выше, чем выше температура, при которой происходит процесс.  Исходя из формул для работы газа и уравнения Менделеева-Клайперона найдем работу изотермического расширения газа:  Так как при Т=const внутренняя энергия идеального газа не изменяется:  dU= =0 то из первого начала термодинамики (δQ=dU+δA) следует, что для изотермического процесса  Q= A  т. е. все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил:   (4) Значит, для того чтобы при расширении газа температура не становилась меньше, к газу в течение изотермического процесса необходимо подводить количество теплоты, равное внешней работе расширения. 

Билет №13

1. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Коэффициент затухания. Логарифмический коэффициент затухания.

дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Обозначим ,где -коэффициент затухания, ,где -частота незатухающих свободных колебаний в отсутствии потерь энергии в колебательной системе.

В новых обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид: . Коэффициент затухания β есть физическая величина, обратная времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т, называется логарифмическим декрементом затухания χ:

;

χ=βT.

Пусть N число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в e раз. Тогда: , , χ=βT= .

Следовательно, логарифмический декремент затухания χ есть физическая величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда А уменьшается в e раз. При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и заметно увеличивается период колебаний. Когда сопротивление становится равным критическому , а то круговая частота обращается в нуль ( ), а ( ), колебания прекращаются. Такой процесс называется апериодическим.