52. Частные производные Основные понятия. Частные производные
Определение.
Пусть имеется
переменных величин и каждому набору их
значений
из некоторого множества
соответствует одно вполне определенное
значение переменной величины
из множества
.
тогда говорят, что задана функция
нескольких переменных
.
Переменные
называются независимыми
переменными
или аргументами,
- зависимая
переменная.
Множество
называется областью
определения функции,
множество
- областью
значений функции.
Функцию двух
переменных будем обозначать как
.
Определение.
Графиком функции двух переменных
называется множество точек трехмерного
пространства (
),
аппликата
которых связана с абсциссой
и ординатой
функциональным соотношением
.
График представляет собой некоторую
поверхность в трехмерном пространстве.
Частные производные функции двух переменных
Определение.
Число
называется пределом
функции двух переменных
в точке
,
если для любого положительного числа
существует положительное число
,
зависящее от
,
такое что для всех точек
отстоящих от точки
на расстоянии
выполняется неравенство
.
Обозначение:
.
Рассмотрим изменение функции при изменении только одной переменной, например, ; при этом другая переменная остается фиксированной
- частное
приращение функции
по переменной
.
Аналогично определяется частное
приращение функции
по переменной
:
.
Определение. Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).
Пусть
,
тогда
,
.
Замечание. Так как частная производная функции 2-х переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при постоянном значении другой переменной, то вычисляют частные производные по формулам и правилам дифференцирования функции одной переменной.
Правило.
Производная
вычисляется при фиксированном значении
,
а производная
вычисляется при фиксированном значении
.
Определение.
Пусть функция
имеет частные производные
и
,
которые также являются функциями двух
переменных
и
.
Частные производные от этих функций
называются частными производными
второго порядка от функции
.
Каждая производная первого порядка
имеет две частные производные. Таким
образом, мы получаем 4 частные производные
второго порядка, которые обозначаются
следующим образом:
-
,
,
,
.
Определение.
и
называются смешанными производными
функции
.
57. Производная по направлению, градиент
Производная
по направлению, определяемому вектором
Определение.
Вектор с координатами
,
,
называется градиентом
функции u =
f (x, y, z) в точке M(x, y, z) и обозначается grad
u =
+
+
.
Под
производной функции u = f (x, y, z) в данном
направлении
понимается выражение
=
cosa +
cosb
+
cosg, где cosa, cosb, cosg – направляющие косинусы
вектора