43.Интегрирование по частям и замена переменной в опр. Интеграле Методы вычисления определенного интеграла

Теорема. Пусть функции , имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда

,

где .

Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Можно вывести формулу: , интегрируем почленно это равенство

48. Несобственные интегралы Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция определена и интегрируема на произвольном обрезке , т.е. функция определена для произвольного .

Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом от непрерывной функции на полуинтервале называется предел интеграла при стремящемся к :

.

Если этот предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.

При работе с несобственными интегралами выделяют 2 задачи:

1. исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;

2. вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.

Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной (бесконечной) фигуры.

Пример. Вычислить .

Решение. По определению Следовательно, несобственный интеграл сходится и равен 1.

Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной функции с бесконечным нижним пределом интегрирования, а именно

.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования обозначается символом

, где .

58. Дифференциальное уравнение первого порядка, их общее частное особое решение. Разделяющ переменные

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков искомой функции.

Определение. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких переменных – то уравнением в частных производных.

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде:

. (12.1)

.

Определение. Дифференциальное уравнение -го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:

, (12.2)

где - некоторая функция от переменной.

Определение. Решением дифференциального уравнения (12.1) называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

Определение. Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования этого дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (12.1) –го порядка называется такое его решение , которое является функцией переменных и произвольных постоянных .

Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:

, (12.5.1)

или в виде . (12.5.2)

где - некоторые функции переменной ; - функции переменной .

Для нахождения решения (12.5.1) и (12.5.2) преобразовывают таким образом, чтобы функции, зависящие от и были в одной части равенства, а функции, зависящие от и в другой. Затем интегрируем обе части равенства.

(12.5.1) Решение: или

(12.4.2)