33.34 Первообразная и неопределенный интеграл. Понятие первообразной и неопределенный интеграл

Определение. Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка .

Пример. является первообразной для , т.к. .

Можно заметить, что если для функции существует первообразная , то она не является единственной. Возвращаясь к примеру, видно, что и функции , и вообще ( - некоторое число) являются первообразными для функции . Таким образом можно сформулировать следующую теорему.

Теорема. Если и - первообразные для функции на некотором промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство:

.

Из данной теоремы следует, что, если - первообразная для функции , то выражение вида , где - произвольное число, задает все возможные первообразные для .

Определение. Совокупность всех первообразных функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где - знак интеграла, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение.

Таким образом:

,

где - некоторая первообразная для , произвольная постоянная.

Определение. Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием этой функции.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. .

□ Доказательство. Дифференцируя левую и правую части равенства , получаем: .■

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .

□ Доказательство. По определению дифференциала и свойству 1 имеем: ■

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. .

□ Доказательство. Рассматривая функцию как первообразную для некоторой функции , можно записать: и на основании дифференциал неопределенного интеграла , откуда .■

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. , где - некоторое число.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е. .

35. Метод замены переменной, интегрирование по частям.

Интегрирование - действие, обратное дифференцированию, то каждому правилу дифференцирования должно соответствовать некоторое правило интегрирования.

Пусть и - дифференцируемые функции от х. Имеем: , откуда .

Интегрируя обе части последнего равенства, получим: , или

.

Это и есть формула интегрирования по частям.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение представляется каким-либо образом в виде произведения двух множителей и (последний обязательно содержит ) и согласно формуле данное интегрирование заменяется двумя:

1) при отыскании из выражения для ;

2) при отыскании интеграла от .

Может оказаться, что эти два интегрирования легко осуществляются, тогда как заданный интеграл непосредственно найти трудно.

Правило интегрирования по частям нередко позволяет довести интегрирование до конца.

Метод замены переменной (метод подстановки).

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый формулой:

(1)

Пусть заданный интеграл не может быть непосредственно преобразован к табличному интегралу. Введем новую переменную : . Тогда , , т.е. .

□ Найдем производные по переменной от левой и правой части; , . Т.к. , то эти производные равны, поэтому по следствию Лагранжа левая и правая части (1) отличаются на некоторую постоянную. Поскольку сами неопределенные интегралы определены с точностью до неопределенного постоянного слагаемого, то указанную постоянную в окончательной записи можно опустить.■

Формула показывает, что переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену переменной в подынтегральном выражении. Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, свести его к табличному.

Замечание. Новую переменную можно не выписывать явно, а производить преобразования функции под знаком дифференциала (путем введения постоянных и переменных под знак дифференциала).

Теорема. Пусть некоторая первообразная для функции . Тогда если вместо аргумента подынтегральной функции и первообразной подставить выражение , то это приведет к появлению дополнительного множителя перед первообразной: , где и - некоторые числа, .

□ Перепишем в виде: . Но . Вынося постоянный множитель за знак интеграла и деля левую и правую части равенства на , приходим к .■

Алгоритм вычисления:

1. Делаем замену.

2. Дифференцируем замену .

3. Под знаком интеграла переходим к новой переменной.

4. Находим табличный интеграл.

5. Возвращаемся к старой переменной.