4.2 Составление передаточной функции разомкнутой и замкнутой системы
Так как все звенья прямой ветки структурной схемы соединены последовательно, то чтобы найти, передаточную функцию прямой цепи системы определим произведением передаточных функций всех звеньев системы прямой ветки.
Wпрямой_цепи(p)=Wу(p) Wим(p) Wор(p)
Тогда передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:
Wраз(p)=Wпрямой_цепи(p) Wд(p)
Найдем передаточную функцию замкнутой исходной системы по формуле:
Для исследования и анализа системы возьмём 1 вариант согласно исходным данным. Для расчета используем программное обеспечения MathCad 2014.
- коэффициенты САР, согласно исходным данным
Рисунок 4.2.1 – Фрагмент расчета в MathCad 2014
4.3 Исследования системы на устойчивость по общему критерию (теоремам Ляпунова)
После постановки исходных данных в передаточные функции системы, получим передаточную функцию по разомкнутому контуру в виде :
Х арактеристическое уравнение – это знаменатель передаточной функции.
(1)
Решая характеристическое уравнение относительно оператора Лапласа р найдем корни уравнения:
- всего 5 корней: один - нулевой и четыре - «левых», то есть лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости.
Расположение корней, согласно формулировке общего критерия устойчивости, говорит о том, что разомкнутая система, находится на границе устойчивости (нейтрально устойчивая).
Аналогично проанализируем замкнутую систему (рисунок 4.3.1).
Рисунок 4.2.1 – Фрагмент расчета в MathCad 2014
4.4. Исследование системы на устойчивость по критерию Михайлова
Для оценки устойчивости по критерию Михайлова необходимо построить кривую, которую описывает конец вектора D(j) на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до бесконечности, называемую годографом Михайлова. Вектор D(j) получаем из характеристического полинома замкнутой системы (1).
Используя ЭВМ, построим годограф Михайлова и проанализируем его.
Рисунок 4.4.1 - Годограф Михайлова для разомкнутой системы
Для устойчивости системы необходимо, чтобы годограф Михайлова обошёл в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n-квадрантов, нигде не обращаясь в нуль. В нашем случае годограф из первой четверти попадает в четверную, а затем в третью, то есть он обходит три квадранта в положительном направление (против часовой стрелки), но с нарушением порядка прохождения квадрантов. Следовательно, система находится на границе устойчивости.
Аналогично построим и проанализируем замкнутую систему:
Рисунок 4.4.2 - Годограф Михайлова для замкнутой системы
Рисунок 4.4.3 - Годограф Михайлова для замкнутой системы
(увеличенный масштаб)
Годограф замкнутой системы проходит последовательно : четвертый, первый , четвертый, второй и третий квадранта по часовой стрелки, с нарушением порядка прохождения квадрантов. Следовательно, система не устойчивая в замкнутом состоянии.