36.Асимптоты графика функции. Асимптоты графика функции

Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Заметим, что если прямая , является вертикальной асимптотой, то точка — это точка разрыва второго рода, в которой функция не определена. Поэтому для того, чтобы найти вертикальные асимптоты нужно исследовать точки, в которых функция не определена.

Определение. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при ( ), если представима в виде , где — бесконечно малая функция при ( ).

Теорема. Для того, чтобы график функции имел наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали два конечных предельных значения

, (1)

. (2)

Пример. Найти асимптоты графика функции .

Данная функция не определена в точке . Найдем предельное значение функции при

.

Следовательно, график этой функции имеет вертикальную асимптоту .

Чтобы выяснить, есть ли у графика функции наклонные асимптоты, найдем предельные значения (1), (2):

,

.

Итак, прямая является наклонной асимптотой графика при и .

37.Схема исследования функции и построения графика.

Схема исследования функции и построения графика

1. Определить область задания функции, область непрерывности и точки разрыва функции.

2. Найти асимптоты.

3. Найти точки пересечения графика с осью .

4. Найти интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремумов.

5. Найти области сохранения направления выпуклости графика функции и точки перегиба.

Пример. Исследовать график функции .

В предыдущем примере мы установили, что данная функция определена всюду на числовой оси, за исключением точки , прямая является вертикальной асимптотой графика функции, а прямая — наклонной.

График функции пересекает ось в точках, которые являются корнями уравнения . Решив это уравнение, найдем точки пересечения графика с осью абсцисс: . Заметим, также, что ось ординат график функции пересекает в точке , то есть в точке .

Далее найдем точки локальных экстремумов и интервалы возрастания и убывания функции. Производная данной функции

обращается в нуль в точках , и не определена в точке . Заметим также, что на интервалах и . Следовательно, на этих интервалах функция возрастает. На интервале производная , а функция убывает. Поскольку при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то точка является точкой локального максимума. При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, — это точка локального минимума.

Вторая производная функции отрицательна при и положительна при . Следовательно, на интервале график функции имеет выпуклость, направленную вверх, а на интервале — вниз.

График функции приведен на рис. 6.

Рис. 6