2. Действительные числа и их представление в виде бесконечных десятичных дробей. Числовые множества. Ограниченные и неограниченные множества. Числовые множества

В процессе счета сначала возникает так называемый натуральный ряд чисел Множество этих чисел называется множеством натуральных чисел и обозначается . Далее в арифметике вводятся операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако в результате вычитания или деления не всегда получаются натуральные числа, и возникает необходимость расширить класс рассматриваемых чисел.

Вводятся число 0 и отрицательные числа –1, -2, …,-n, … Натуральные числа, число 0 и указанные отрицательные числа образуют множество целых чисел . Очевидно, что множество натуральных чисел является подмножеством целых чисел, то есть .

При делении целых чисел появляются рациональные числа вида , где и — целые числа, причем . Множество рациональных чисел обозначают буквой . Его можно записать в виде . Рациональное число , вообще говоря, можно записать не единственным образом. Например, Чтобы избежать этой неопределенности говорят, что рациональное число — это несократимая обыкновенная дробь. При этом предполагают, что если числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь следует сократить. Заметим также, что целые числа также представимы в виде , если положить . Следовательно, .

В процессе измерения геометрических величин выяснилось, что длина отрезка не всегда может быть задана рациональным числом. Таким примером может служить длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными 1. Как следует из теоремы Пифагора, длина гипотенузы в данном треугольнике равна . Предположим, что — рациональное число, то есть может быть представлено в виде . Причем и не имеют общих множителей. После возведения в квадрат равенства получим или

. (1)

Последнее равенство означает, что — четное число. Тогда также является четным и может быть записано в виде . Подставляя в (1) получим . Отсюда следует, что — тоже четное число. Но в этом случае и имеют общий множитель, равный двум, а мы предположили, что — несократимая дробь. Следовательно, наше предположение оказалось неверным, и не является рациональным числом. Итак, извлечение корня, вычисление логарифмов, значений тригонометрических функций и прочие операции привели к появлению иррациональных чисел. Все рациональные и иррациональные числа образуют множество вещественных (действительных) чисел. Множество вещественных чисел обозначают . Очевидно, справедливо соотношение .

Геометрически множество вещественных чисел изображается точками на числовой оси, то есть на прямой, на которой выбраны направление и начало отсчета, а также единичный отрезок. Между точками числовой оси и множеством вещественных чисел существует взаимно однозначное соответствие, то есть каждой точке на прямой соответствует вещественное число , равное расстоянию от начала отсчета до указанной точки, если она лежит правее начала отсчета и расстоянию, взятому со знаком минус, если точка лежит левее. И наоборот каждому вещественному числу соответствует точка на прямой.

Заметим, что любое вещественное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби

Множество всех бесконечных десятичных дробей называется множеством действительных или вещественных чисел.

Напомним, что множество , элементы которого удовлетворяют условию , называется отрезком , то есть

.

Интервалом называется множество , полуинтервалами — множества и .

Бесконечный интервал — это множество всех вещественных чисел. Бесконечными интервалами также называются множества и . Множества и называются бесконечными полуинтервалами.