17.Монотонные функции. Понятие обратной функции. Непрерывность обратной функции. Понятие обратной функции

Пусть функция задана на отрезке , и пусть множеством значений этой функции является отрезок . Пусть каждому значению из отрезка ставится в соответствие по некоторому закону единственное значение из отрезка , для которого . Тогда на отрезке можно определить функцию , ставя в соответствие каждому из отрезка , то значение из отрезка , для которого . Функция называется обратной для функции .

В этом определении вместо отрезков и можно рассматривать интервалы и или считать, что один или оба интервала превращаются в бесконечную прямую или в открытую полупрямую , .

Заметим, что если — обратная функция для функции , то функция — это обратная функция для функции . Функции и называются взаимно обратными.

Взаимно обратные функции обладают следующими очевидными свойствами:

,

.

Пример. Рассмотрим на полупрямой функцию . Областью значений этой функции является полупрямая . каждому поставим в соответствие по формуле единственное значение . Тогда . Следовательно, является обратной для функции .

Пример. Рассмотрим на отрезке функцию . Областью значений этой функции является отрезок . Обозначим через угол, принадлежащий отрезку , синус которого равен . Тогда функция будет обратной к данной. Действительно, .

Заметим, что при записи обратной функции независимую переменную нередко обозначают , а значение функции , то есть пишут . Например, — функция обратная для функции . Функция — функция обратная для функции .

Понятие монотонности функции

Определение. Функция называется неубывающей (невозрастающей) на множестве , если для любых и из этого множества, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство ( ). Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными.

Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве , если для любых и из этого множества, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство ( ). Убывающие и возрастающие функции называются строго монотонными.

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции

Теорема. Пусть на отрезке задана возрастающая (убывающая) непрерывная функция , и пусть и . Тогда эта функция имеет на отрезке ( ) возрастающую (убывающую) непрерывную обратную функцию .

На основании этой теоремы можно сделать вывод, что обратные тригонометрические функции непрерывны в своей области определения.

Примем без доказательства тот факт, что показательная функция непрерывна на всей вещественной оси. Областью ее значений является интервал . Поскольку показательная функция возрастает при и убывает при , то она имеет на интервале непрерывную обратную функцию .

Переходя к стандартным обозначениям функции и переменной, сформулируем последнее утверждение следующим образом: логарифмическая функция , являясь обратной для показательной функции , непрерывна в своей области определения.

Мы уже упоминали, что степенная функция с натуральным показателем непрерывна на всей вещественной оси.

Рассмотрим степенную функцию с вещественным показателем , где — произвольное вещественное число. Степенная функция определена и непрерывна для всех Действительно, степенную функцию можно представить в виде . Функция — это сложная функция, полученная в результате суперпозиции двух непрерывных на интервале функций и . По теореме о непрерывности сложной функции функция является непрерывной при .

Итак, все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

18.Определение производной в точке. Физический и геометрический смысл производной в точке. Использование понятия производной в экономике (предельные издержки, предельный доход и другие предельные величины)

Понятие производной

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Зададим аргументу приращение такое, что значение находится в указанной окрестности точки . Приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента называется число

. (2)

Определение. Производной функции в точке называется конечный предел (если он существует) при отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента.

Производную функции в точке будем обозначать символом или . По определению производной

. (3)

Если функция определена на некотором интервале , то в любой фиксированной точке этого интервала аналогичным образом определяются приращение и производная в точке :

,

. (3’)

Пользуясь определением производной, получим формулы для вычисления производных некоторых элементарных функций.