Теоретические вопросы (А)

1. Расстояние в пространстве Rn. Свойства расстояния

Расстоянием между двумя точками P = (x₁,…,x_n) и P<sup>`</sup> = (x`₁,…,x`_n) в пространстве Rⁿ называется число

ρ(P,P^`)= . Последовательность точек {P_k}в Rⁿ сходится к точке P₀, если соответствующая последовательность расстояний от P_k до P₀ стремится к нулю, то есть lim_k→∞ =0. При этом P₀ называют пределом последовательности {P_k}, используя обозначения lim_k→∞ P_k= P₀ или P_k→P₀

Свойства расстояния:

1. ρ(x,x₁)≥0

2. ρ(x,x₁)=0 ↔ x=x₁

3. ρ(x,x₁)= ρ(x₁,x) ∀ x,x₁ ∊ Rⁿ

4. ρ(x,x₁)+ ρ(x₁,x₂) ≥ ρ(x,x₂)

| x,x₁|+| x₁,x₂| ≥ |x,x₂|

2. Окрестность точки в Rn.

a, ⁿ,

Множество (a) = (a ̶ , a + ) = {x ⁿ: |x-a|< } – -окрестность точки a.

Множество (a) = (a ̶ , a) (a, a + ) = {x } – проколотая окрестность точки a.

^-(a) =(a ̶ , a) = {x a – – левая …

⁺(a) = (a, a + ) = {x - и правая - точки a.

(+ ) = ( ) = {x }

(- ) = ( ) = {x }

( ) = ( )

3. Внутренние и граничные точки множества.

Точку P₀ ∊ Rⁿ называют внутренней точкой множества D ⊂ Rⁿ, если найдется такой шар B_r(P₀), r > 0, с центром в P₀, который целиком содержится в D. Точку P₀ ∊ Rⁿ называют граничной точкой множества D ⊂ Rⁿ, если каждый шар B_r(P₀), r > 0, с центром в P₀ содержит как точки множества D, так и точки, не принадлежащие множеству D. Если множество D ⊂ Rⁿ имеет размерность n, то множество его граничных точек называется границей множества D.

3. Открытые и замкнутые множества

Пусть D ⊂ Rⁿ; Rⁿ\D – дополнение множества D до Rⁿ. Множество D ⊂ Rⁿ называется открытым, если все его точки – внутренние (или если множество задано системой только строгих неравенств). Множество D – замкнутое, если его дополнение в Rⁿ открыто ( или если D задано системой, состоящих из уравнений и/или нестрогих неравенств).

3. Изолированные и предельные точки множества.

Пусть D – произвольное множество в Rⁿ. Точку P₀∊ Rⁿ называют предельной точкой множества D, если найдется такая последовательность точек {P_k} множества D, отличных от P₀, что lim_k→∞P_k= P₀. Точки множества D, не являющиеся предельными, называют его изолированными точками. Множество, содержащее все свои предельные точки, называют замкнутым.

6. Ограниченные множества.

Множество D⊂ называют ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шре. Множество D⊂ ограничено тогда и только тогда, когда найдётся такое R>0, что D⊂ (O), где O – начало координат.

7. Сходимость последовательности точек в Rⁿ, её эквивалентность покоординатной сходимости.

⊐ {X_k} – последовательность точек в .

{X_k} сходится к точке X₀, если числовая последовательность { } 0 при k , т.е. = . Можно сформулировать эквивалентное определение сходимости последовательности точек в .

⊐ = ( ),

= ( )_k, )_k, …, )_k), k∈ℕ

Тогда {X_k} X ⟺последовательность соотв. координат и последовательность последних координат:

{X_k} называется фундаментальной, если

n₀ ( ) | k n₀, p ℕ ( ) < . Для того, чтобы последовательность {X_k} пр-ва была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.