- •Часть 1 Числовые методы
- •Раздел 1
- •Тема 1.1 Точность вычислительного эксперимента на эвм.
- •§ 1.1.1 Приближенные числа
- •§ 1.1.2. Погрешность приближенных чисел.
- •§ 1.1.3. Погрешность математических операций над приближенными числами.
- •§ 1.1.4 Характеристики методов вычислений.
- •Раздел 1
- •Тема 2. Исчисление конечных разностей. Разностные уравнения.
- •§ 1.2.1 Табличное представление функций. Система обозначений. Операторы.
- •§ 1.2.2. Разностные операторы. Таблицы конечных разностей.
- •§ 1.2.3. Разностные уравнения
- •Раздел 2
- •Тема 2.1. Прикладные задачи интерполяции и аппроксимации и их алгоритмизация. Методы и алгоритмы решения линейных алгебраических уравнений
- •§ 2.1.1. Основные понятия теории приближения функций.
- •§ 2.1.2. Интерполяция многочленами с неравномерными и кратными узлами.
- •Можно и не вычислять коэффициенты Pn(X), а записать интерполяционную формулу, в виде уравнения прямой, проходящей через две координаты точки на плоскости, координаты которых известны.
- •§ 2.1.3. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов.
- •Раскроем знак суммы относительно неизвестных a0 и a1
- •§ 2.1.4 Методы и алгоритмы решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •Раздел 2. Методы и алгоритмы многочленного и немногочленного приближения
- •Тема 2.2.Прикладные задачи численного дифференцирования и интегрирования.
- •§ 2.2.1 Методы численного дифференцирования
- •§ 2.2.2.Методы численного интегрирования
- •Метод трапеций
- •Метод Симпсона
- •Раздел 2
- •Тема 2.3 Системы линейных дифференциальных уравнений и их решение на эвм
- •§ 2.3.1 Основные понятия и определения
- •§ 2.3.2 Алгоритмы решения задачи Коши
- •§ 2.3.3 Алгоритм решения краевой задачи оду.
- •Раздел 2
- •Тема 2.4 Дифференциальные уравнения в частных производных и их численное решение на эвм.
- •§ 2.4.1. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных
- •§ 2.4.2 Метод сеток и алгоритмы его реализации
- •§ 2.4.3 Алгоритмы решения параболического уравнения
- •Раздел 3 Численное определение нулей и экстремумов функций
- •Тема 3.1. Методы и алгоритмы нахождение нулей функций
- •§ 3.1.1. Численное решение рациональных и трансцендентных уравнений
- •Пример 1
- •Метод простых итераций
- •Пример 3
- •§ 3.1.2. Нахождение действительных и комплексных корней многочленов
- •§ 3.2.1. Основные понятия и определения
- •Пример 1
- •§ 3.2.2 Методы решения задач оптимизации
- •§ 3.2.3. Задача поиска одномерного, локального безусловного оптимума.
- •§ 3.2.4 Задачи многомерной оптимизации
Раздел 1
Вычислительный эксперимент. Дискретизация исходной математической задачи.
Действительное изображается в мышлении
не в целых числах, а в дробях.
Л. Фейербах (1804 – 1872)
Тема 1.1 Точность вычислительного эксперимента на эвм.
§ 1.1.1 Приближенные числа
Приближенным числом (ПЧ) а, полученным в результате измерения, счета или выполнения разнообразных математических операций называют приближенным (ПЧ), если оно незначительно отличается от точного А. Так в технических расчетах, из-за ограничения количества цифр в операндах, при производстве вычислений приходиться иметь дело с приближенными числами, а значит заменять ими точные при вычислениях. На ЭВМ числа представляются конечным количеством разрядов. А при измерениях шкалы приборов имеют определенный диапазон.
Например, механические часы дадут одно число, а электронные другое, для одного и того же промежутка времени.
Любое приближенное число (ПЧ) может быть представлено в естественной или полулогарифмической форме: 2.734 или 0.2734 10 1. Кроме того, число в позиционной системе счисления можно представить в виде десятичной дроби.
В = αm10m + αm-110m-1 + αm-210m-2 + …+ αm-n+110m-n+1 +…,где
m - целое число (старший десятичный разряд В), причем число первого разряда перед запятой имеет цифру 0. n - номер разряда, считая слева направо от старшего разряда числа, αm – цифра числа.
Например, 32.734 = 3· 101 + 2·100 + 7·10-1 + 3·10-2 + 4·10-3 , где m = 1, а n принимает значения соответственно (1 – 3 – 1) = -1; . (1 – 4 – 1) = -2; (1 – 5 – 1) = -3.
Приближенное число имеет следующие характеристики:
число значащих цифр;
число верных цифр;
- число сомнительных цифр;
- погрешность.
К значащим цифрам относят всех цифры ПЧ, начиная от первой не нулевой цифры с левой стороны числа. Так в числе 0.037 две значащих цифры (подчеркнуты) а в числе 14.80 - четыре. Определение верной и сомнительно цифры приведено в следующем параграфе.
ПЧ заменяет собой точное число, которое чаще всего остается неизвестным. Число называют приближенным с недостатком, если оно меньше точного а < A. И с излишком, если оно больше точного a >A. Очень часто точные числа имеют больше цифр, чем это необходимо для вычислений. В таких случаях точные числа заменяют приближенными с помощью округления.
Округлить число к заданному разряду или заданному числу цифр, которые являются значащими - это означает сохранить необходимое количество цифр (отсчитывая по левую сторону), отвергнув другие, или, если это необходимо для сохранности разрядов, заменив их нулями. При округлении соблюдают следующее правило: если первая из цифр, которые отбрасываются меньше 5, то все цифры, которые отбрасываются, зачеркиваются. Если же она больше или равная 5, то все цифры, которые отбрасываются, заменяют единицей высшего разряда.
При вычислении на ЭВМ округление, как правило, не вырабатываются, а цифры что выходят за разрядную сетку отбрасываются. В этом случае погрешность вычисления больше, чем при округлении.
Если входное число имеет несколько сомнительных цифр, его следует заранее округлить. При операциях с ПЧ рекомендуется соблюдать правила академика А. Н. Крылова. ПЧ надо записывать так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верными, и лишь последняя была бы сомнительной. Мерой точности приближенных чисел является погрешность.