Пример 3
f(x, y) = sin(2x-y) -1.2x - 0.4
(x, y) = 0.8x2 +1.5y2 –1, в области параметров D={(x, y)0.4 < x < 0.5;- 0.8 < y < - 0.7
с точностью = 0.01
f/x=2cos(2x-y) – 1.2; f/y = -cos(2x-y)
/x=1.6x; /y = 3y
За начальные приближения примем x0 = 0.4; y0= - 0.8
По формулам (3.4 – 3.5) 0 = 3.00147; x0 = - 0.2895; y0 = -0.1873, а по формуле (3.3)
вычисляем x1 = 0.4 – (- 0.2895/3.00147) = 0.4965; y0= - 0.8- (- 1873/3.00147)= - 0.7376.
Погрешность по формуле (3.6) равна 0.1149 т.е. больше допустимой погрешности и надо продолжить вычисления для x1, y1.повторная итерация дает x1= 0.4909; y1= -0.7331; погрешность равна 0.0071 т.е. вычисления можно прекратить.
§ 3.1.2. Нахождение действительных и комплексных корней многочленов
Очень часто модель системы описывается целым алгебраическим полиномом n степени
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1 x + a0 = 0
Применительно к таким уравнениям можно отметить ряд свойств, использование которых позволяет упростить решение задачи.
Теорема Гаусса. Уравнение n степени имеет всего n корней, среди которых могут быть как действительные, так и мнимые (комплексные), которые образуют комплексно-сопряжённые пары. Каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Число c называется к – кратным корнем многочлена, если f(x) делится на (х-с)к, но не делится на (х-с)к+1, где с – корень многочлена f(c)= 0. Если k=1, то с - простой корень. Сумма кратности всех корней равна тепени многочлена.
Теорема Декарта. Число положительных действительных корней меньше или равно числу перемен знаков в последовательности коэффициентов an, an-1, a1, ..., a0. Заменяя x на -x, таким же способом можно оценить число отрицательных корней.
Теорема Лагранжа. Верхняя граница положительных действительных корней определяется как
, a0
0,
где am – первый отрицательный коэффициент; B – наибольшая абсолютная величина отрицательного коэффициента.
Теорема Гюа. Если уравнение f(x) имеет действительные корни и действительные коэффициенты, то a2k ak-1ak+1. В строго математическом смысле, найдя один корень х1 =с, можно разделить уравнение на (х-с), тем самым понизив его степень.
Для определения действительных корней многочлена применяют все вышеописанные итерационные методы. Комплексные корни можно найти методом Лина, Берстоу, которые подробно описаны в рекомендованной литературе.
Тестовые задания для проверки усвоения темы
1. Это алгебраическое уравнение?
(
2. Где целое алгебраическое уравнение?:
3.
1- Алгебраическое целое
а)
2
– Трансцендентное тригонометрическое
б)
3 Трансцендентное логарифмическое
4
-алгебраческое рациональное
в)
5
–алгебраическое иррациональное
г)
6
-трансцендентноепоказательное
д)
е)
Классифицировать нелинейные уравнения.
4.
Каким символом обозначен Якобиан в этих выражениях?
5. Дано уравнение tg(0,55x + 0,1) + x2= 0
интервал изоляции [0,6 0,8].
Проверить, есть ли корень нак этом интервале.
6. 2x3 – y2 = 1x
xy3 – y = 4x Найти значение якобиана в точке x0 =1.2 y0 = 1.7 для этой системы уравнений.
3.2. Определение экстремальных значений нелинейных функций с помощью ЭВМ
В мире не происходит ничего,
в чем не был бы виден смысл
какого-либо максимума или минимума.
Леонард Эйлер (1707 – 1783)