Пример 1

Найти корень уравнения – 1.433 x² ln(x+1)-1= 0 на интервале [-0.9 , -0.7].

1. x_н=a= -0.9; x_к=b= -0.7, = 0.01

2. f(-0.9) = – 1.433 0.81 -2. 303 –1= 1.67

3. x₁= (-0.9 –0.7)/2= -0.8. f(-0.8) = – 1.433 0.64 -1. 609 –1 = 0.476. (первое деление интервала)

4. f(-0.8)  0.

5. –0.8 + 0.9= 0.1 > 0.01

6. f(-0.9)  f(-0.8)= 0.795  0 a = - 0.8 f(-0.8) = 0.476 т.е., корень на интервале [-0.8 , -0.7].

второе деление интервала

3. x₂= (-0.8 –0.7)/2= -0.75. f(-0.75) = – 1.433 0.5625 -1. 386 –1 = 0.117

4. f(-0.75)  0.

5.–0.7 +0.75 = 0.05 > 0.01

6. f(-0.8)  f(-0.75) = 0.0556  0 a = - 0.75 f(-0.75) = 0.117 т.е., корень на интервале [-0.75 , -0.7].

третье деление интервала

3. x₃= (-0.75 –0.7)/2= -0.725. f(-0.725) = – 1.433 0.5256 -1. 291 –1 = -0.027

4. f(-0.725)  0.

5.–0.7 +0.725 = 0.025 > 0.01

6. f(-0.75)  f(-0.725) = -0.0032356 < 0 b = - 0.725 т.е., корень на интервале [-0.75 , - 0.725].

четвертое деление интервала

3. x₃= (-0.75 –0.725)/2= -0.7375. f(-0.7375) = – 1.433 0.5439 -1. 338 –1 = 0.0424

4. f(-0.7375)  0.

5.–0.75 +0.7375 = 0.0125 > 0.01

6. f(-0.75)  f(-0.7375) = 0.0045 > 0 a = - 0.7375 т.е., корень на интервале [-0.7375 , - 0.725].

Очевидно, что следующее деление интервала даст погрешность менее допустимой.

x^= 0.73125 f(-0.73125) = – 1.433 0.5347 -1. 314 –1 = 0.0068, что близко к 0.

В общем случае для для достижения необходимой точности необходимо совершить N

N ≈ | log₂(b –a)/2 |

Так для данного примера N ≈ |log₂(- 0.7 + 0.9)/2| = | log₂(0.1) | = 3.3219. т.е. около четырех половинных деления интервала.

Метод простых итераций

Для реализации этого метода функцию f(x) = 0 надо представить в виде x_i+1 = φ(x_i). Выбрав начальное приближение x₀ внутри выбранного интервала локализации корня. Дальнейшие вычисления ведут по формуле

x_i+1 = φ (x_i), i = 0,1,2...до выполнения условия прекращения итерации

|x_i+1 - x_i| < 

Для сходимости итерационного процесса обязательно выполнение условия – максимальное значение производной исходной функции меньше единицы |f^' (x)|_max < 1 на интервале изоляции корня, иначе процесс расходится. Для выполнения этого условия φ(x) формируется следующим образом.

Умножим f(x) на постоянное число – α, тогда - f(x)·α=0, а затем к обеим частям прибавим x

x + f(x)·α = x т.е.

x = x - f(x)·α, значит

φ(x)= x - f(x)·α , тогда вычисления ведутся по выражению

x_i+1 = x_i - f(x_i)·α , а α выбирается из соотношения  φ^(x) = 1- α f^ (x)  1 на интервале изоляции корня.

ПРИМЕР 2 Найти действительный корень уравнения x³ –x² +1=0 на интервале [-1,0].

Выражение для итераций x_i+1 = x_i – α(x³_i –x²_i +1). Для определения величины α найдем f^ (x).

f^ (x)=3x²-2x,  f^ (x)_max = 5, для выполнения условия примем α=0.3, тогда итерации вычисляются по выражению

x_i+1 = x_i – 0.3(x³_i –x²_i +1)

Примем в качестве x₀ = - 0.5 – середина интервала

x ₁= -0.5- 0.3(-0.5³- (-0.5²) +1)= - 0.6875

x ₂= - 0.6875- 0.3(- 0.6875³- (- 0.6875²) +1)= - 0.7482

x ₃= - 0.7482- 0.3(- 0.6875³- (- 0.6875²) +1)= - 0.7546

x ₄= - 0.7546- 0.3(- 0.7546³- (- 0.7546²) +1)= - 0.7548

После четвертой итерации  x_i+1 - x_i = - 0.7548 + 0.7546= 0.0002, что вполне допустимо.

Для решения системы нелинейных уравнений существует несколько методов, но чаще используют метод простой итерации и метод Ньютона.

Суть метода покажем на примере решения двух нелинейных уравнений

(x,y) = 0;

(x,y) = 0,

где функции (x,y) и (x,y) – непрерывно дифференцируемые в области D, содержащей единственное решение x = x^* , y=y^*.

Если выбрано начальное приближение x⁰ и y⁰, то по методу Ньютона следующие приближения вычисляются по следующим выражениям.

где (3.3)

(3.4)

(3.5)

В качестве критерия окончания итерационного процесса можно выбрать условие

<  (3.6)

или |x_i+1 - x_i| < _x; |y_i+1 - y_i| < _y

Метод легко обобщается на большее число уравнений.