§ 2.4.3 Алгоритмы решения параболического уравнения

Наиболее характерной задачей в области автоматизации является оценка изменения температуры в среде при подводе или отводе к ней тепла. Математически этот процесс для одномерной задачи описывается параболическим уравнением.

- коэффициент температуропроводности. (9)

а - теплопроводность, Вт/м. град;

c - теплоёмкость, Дж / кг. град;

- плотность, кг/м³;

T - температура, ⁰C.

Физически искомая функция T(x , t) определяет температуру в любой точке полубесконечной пластины шириной 2L в момент времени t.

В области D = {x, t); 0  x  L , 0  t  T } заданы начальные условия (распределение температуры в начальный момент времени)

T(x, 0 )= f(x), 0  x  L

И краевые условия первого рода (тепловые режимы на концах пластины)

T(0, t)= (t), T(2L, t)= (t), 0  t  T.

Функции f(x), (t), (t) предполагаются непрерывными.

В системе координат x0t построим прямоугольную сетку с шагом h по оси x и с шагом  по оси t и введем обозначения

x_i = ih (I=0,1,2,3, …,n), h= L/n.

t_j = j  ( j= 0,1,2,3,…,m)  = T/m , T(x_i , t_j)= T_ij

Заменим производные их конечно-разностным значением по 4-х точечному, явному шаблону и получим уравнение.

, (10)

Обозначив  = a / h² (11)

го можно привести к виду

По этой формуле можно вычислить значение искомой функции T(x_i , t_j) в узлах j+1 временного слоя при t= t_j+1, если известны её значения в узлах j слоя. При t = 0 значения функции получаются из начальных условий, а в левом и правом граничных узлах из граничных условий.

Для устойчивости вычислений при применении явного шаблона надо соблюсти дополнительное условие:

  0.5

В частности, при  = 0.5 формула для вычислений существенно упрощается

T_{i , j +1} = 0.5(T_{i+1 , j} + T_{i-1 , j}) (12)

При  = 1/6

T_{i , j +1} = 1/6(T_{i+1 , j} + 4T_{i , j} + T_{i-1 , j}) (13)

Применение явного шаблона требует, чтобы шаг по времени выбирался после оценки шага по координате, как требуют условия устойчивости.

ПРИМЕР 1

Пластина толщиной 0.3 м, материал сталь с плотностью  = 7800 кг/м, нагретая до T₀ = 700 ⁰C, помещается в среду с T₁ = 100 ⁰C.

Теплофизические параметры с = 586,6 Дж/кг· ⁰С, λ= 45,4 Вт/м ⁰С, a = 9,92·10^-6 м² /с.

Для этого случая выберем упрощенные начальные и граничные условия:

T = T₀ при t = 0

T = T₀ при x = 0

T = T₀ при x = 0.3 т.е. температура на левой и правой границе постоянна, а значит, решение будет симметричным и можно вычислить распределение температуры по времени на различных слоях только от левого края до центра.

. Расстояние до центра 0.15 м, поэтому разделим это расстояние на 6 частей (узлов), i = 1,2,3,4,5,6. h= 0.15/6 = 0.025 м

Шаг по времени по формуле будет τ = 31,5 c

Несколько шагов расчета можно представить в виде таблицы.

Таблица 3.1

j		x=0	x=0.025	x=0.05	x=0.075	x=0.1	x=0.125	x=0.15	x=0.175
	t ,c	T0 i=0	Ti i=1	Ti i=2	Ti i=3	Ti i=4	Ti i=1	Ti i=1	Ti i=1
0	0	100	400	700	700	700	700	700	700
1	31.5	100	400	550	700	700	700	700	700
2	63	100	325	550	700	700	700	700	700
3	94.5	100	325	512.5	550	700	700	700	700

Значение в узле i=1, j=0 – (граничный узел) принимаем 0.5(100+700) = 400 ⁰С

При  = 0.5 заполним таблицу, используя формулу

Расчёт можно вести до необходимого времени t_к или до определенной температуры. Например, до тех пор, пока пластина не примет температуру среды.

В общем случае граничные условия могут быть более сложные.

Пример 2. Решить ДУЧП параболического типа на отрезке [0; 0.6], h = 0.1, до t = 0.005 при граничных условиях:

U(x,0) = x(x+2x)+1, u(0;t) = 1+0.5t, u(0.6;t)= 0.5, При  = 1/6

Параболическое уравнение решается методом сеток постепенным переходом от значений функции U(x_i,t_i) к значениям U(x_i,t_j+1), причем t_j+1 = t_j +k , где k = 0.01/6 = 0/0017

Вычисления производятся по формуле 0.0017 U_i,j+1 = (1/6)*(U_i+1,j +4* U_i,j + U_{i - 1,j})

Таблица 3.2

j		x=0	x=0.1	x=0.2	x=0.3	x=0.4	x=0.5	x=0.6
	tj ,c	Ui=0	Ui i=1	Ui i=2	Ui i=3	Ui i=4	Ui i=5	Ui i =6
0	0	1	1.03	1.12	1.27	1.48	1.75	0.5
1	0.0017	1.09	(1.12+4*1.03+1)/6=1.04	1.13	1.28	1.49	1.496	0.5
2	0.0033	1.16	1.063	1.14				0.5
3	0.0050	1,25	1.092					0.5

Краевые и начальные условия выделены жирным косым шрифтом. Остальные колонки заполняются по аналогии.

Аналогичная задача будет решаться в лабораторной работе.

Тестовые задания для проверки усвоения темы

1. Классифицировать.

Вид ДУЧП Название

1. ; а) Гиперболическое 2. ; б) Эллиптическое

3. ; в) Переноса 4. ; г) Параболическое

2. Это уравнение Пуассона?

3.

А) Б)

Где разностное уравнение для второй производной?

4.

Это разностное уравнение для решения ДУЧП переноса?

5. Нарисуйте прямоугольную сетку и обозначьте узлы для решения задачи Пуассона ЯВНЫМ четырех точечным шаблоном.

6. Запишите выражение для ДУЧП - переноса.

7. Запишите уравнение теплопроводности. Каким методом его решают численно? Какие шаблоны можно использовать?

8. По каким признакам классифицируют ДУЧП?