Тема 2.4 Дифференциальные уравнения в частных производных и их численное решение на эвм.

§ 2.4.1. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных

В практике инженера по автоматизации для решения некоторых задач теплообмена в технологических объектах управления приходится использовать дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП).

Чаще всего используют ДУЧП, которое описывает изменение состояния системы в пространстве одной координаты и по времени в виде общего уравнения:

, (1)

где Q – параметр (температура, давление или другая физическая величина)

ДУЧП классифицируют по трем признакам: математический вид уравнения, физический смысл и автор, впервые исследовавший уравнение, которые представлены в таблице 1.

Таблица 1

Математический вид уравнения Гиперболическое Параболическое Эллиптическое Первого порядка

Физический смысл Волновое Теплопроводности (диффузии) Напряжение в веществе (прочности) Переноса субстанции (вещества)

Автор Даламбер Фурье (Пуассон) Лапласа

Математическую основу уравнения определяет соотношение коэффициентов.

Если a = b = c = f = 0 ; d  0 , e  0 , то получаем уравнение первого порядка в частных производных.

- уравнение переноса (2)

Если D = b - ac > 0 , то вид уравнения – гиперболический (нестационарная задача)

(3)

При D = 0 , параболическое уравнение

, где а > 0 (4)

и если D > 0, то эллиптическое уравнение (стационарная задача)

, (5)

где в качестве второй переменной здесь является пространственная координата y, а производная по времени равна нулю.

Точное решение ДУЧП удается получить лишь для немногих частных случаев. В настоящее время для решения ДУЧП с помощью ЭВМ наиболее широкое распространение получил численный метод сеток. Его идея принадлежит Эйлеру.

§ 2.4.2 Метод сеток и алгоритмы его реализации

Сущность метода сеток состоит в аппроксимации искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках области - узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образуют сетку. Сетка по сути дела является дискретной моделью области определения искомой функции. Дифференциальное уравнение заменяется конечно-разностным уравнением, при этом производные искомой функции в выбранных узлах заменяются разностями.

Применение метода сеток позволяет заменить дифференциальное уравнение системой нелинейных алгебраических уравнений для функции дискретных аргументов (сеточной функции), определенных в узлах сетки.

Начальные и краевые условия заменяются разностными начальными и краевыми условиями для сеточной функции. Полученная система решается, и таким образом определяются значения искомой функции в узлах сетки, т.е. численное решение задачи.

В общем случае алгоритм метода сеток состоит из трех этапов.

1. Построение сетки в заданной области (дискретизация задачи).

2. Аппроксимация ДУЧП разностным уравнением и получение системы алгебраических уравнений относительно узловых значений.

3. Решение полученной системы уравнений.

Существует два принципиально отличных метода сеток для численного решения ДУЧП: метод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных разностей (МКР).

Первый чаще используется при исследовании моделей, описывающих прочностные свойства систем. Рассмотрим подробнее метод конечных разностей

Реализацию МКР начинают с построения сетки в заданной области. Для одномерной области отрезок L разбивается на N частей. Расстояние между двумя соседними узлами называется шагом сетки h_i = x_i - x_i-1 при i = 1,2,3,...,N.

Для регулярной сетки - h_i шаг - величина постоянная.

Для двухмерной функции используют различные области изменения функции. На плоскости часто применяют квадратные, прямоугольные, треугольные, шестиугольные сетки для представления области изменения функции. Для прямоугольной сетки, образованной системой прямых, x_i= x₀ + ih, и y_j = y_{0 +} jl, (i, j = 0,  1,  2, …). Постоянные положительные числа h, l называют шагом сетки по оси OX и OY соответственно. Если вместо координаты y используют время, то шаг обозначают - . Узлы сетки, попавшие внутрь прямоугольника, называют внутренними (G). Точки пересечения прямых, образующих сетку, с границей области называют граничными узлами (Г). Узлы сетки нумеруются через индексы (x) - i; (y) - j. Вместо y часто используют координату времени t для нестационарных задач. Для трёхмерной области при нумерации узлов сетки используют индексы i, j, k.

Обозначим значение искомой функции Q(x,y) в узле (x_i ,y_j) через Q_i,j . В каждом внутреннем узле сетки заменим частные производные функции их конечными разностями, используя формулы численного дифференцирования.

(6)

В граничных точках применяются менее точные разности.

(7)

Вторые частные производные в каждом внутреннем узле заменяются разностями.

(8)

Множество узлов, значения сеточной функции в которых входят в выражение разностного уравнения в точке (i , j), называют шаблоном. Совокупность разностного уравнения и разностных краевых условий называется разностной схемой краевой задачи.

Любая схема должна удовлетворять условиям сходимости, точности и устойчивости, строгое доказательство которых проводится в учебниках по математике.

Сходимость заключается в том, что при стремлении шага сетки к нулю, погрешность приближённого решения краевой задачи также стремится к нулю, т.е. значение сеточной функции приближается к точным значениям исходной непрерывной функции в узлах сетки.