Үш еселі интегралды қайталама интегралдау арқылы есептеу

Теорема 1. V облысы төменнен және жоғарыдан және беттерімен шектелген болсын, мұндағы және - XOY жазықтығындағы тұйық облысында үзіліссіз функциялар. Онда V тұйық облысындағы кез келген үзіліссіз функциясы үшін келесі формула орындалады

(1)

Бұл формула үш еселі интегралды анықталған интегралдың екі еселі интегралына әкеледі.

Теңдіктің оң жағындағы интеграл келесі түрде жазылады:

Үш еселі интегралды (1) формуласы бойынша есептегенде алдымен z айнымалысы бойынша (x және y- тұрақтылар) ішкі интеграл есептеледі, одан кейін x және y бойынша облысында екі еселі интеграл есептеледі.

сурет 4.13.1

Егер облысы XOY жазықтығында x=a, y=b (a<b), сызықтарымен шектелсе, [ және [а, b] кесіндісінде үзіліссіз функциялар , сонымен қатар (сурет 4.13.1.)], онда екі еселі интгералдан облысы бойынша қайталанбалы интегралға көшіп

(2)

формуласын аламыз.

Егер V облысы - x=a, x=b (a<b), y=c, y=d (c<d), z=l, z=k (l<k) жазықтықтарымен шектелген параллелепипед болса, онда (2) формуласы:

Егер функциясы әрқайсысы бір ғана айнымалыдан тәуелді үш функцияның көбейтіндісі болса,

онда V параллелепипеді бойынша үш еселі интеграл осы функциялардың анықталған интегралдарының көбейтіндісіне тең.

сурет 4.13.2 сурет 4.13.3

Мысал 1. x = -1, x = +1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 2 жазықтықтарымен шектелген параллелепипед бойынша үш еселі интегралын есептеңіз. (2) формуласы бойынша:

Мысал 2. жазықтықтармен шектелген V облысы бойынша үш еселі интегралды есептеңіз(сурет 4.13.3.).

V облысы XOY жазықтығына түзулерімен шектелген үшбұрышы болып проекцияланады. 1 және 2 формулаларын қолданамыз:

27-билет

Үш еселі интегралда айнымалыны ауыстыру. Жалпы жағдай

2.4 Үш еселі интегралда айнымалыны ауыстыру

 Егер функциясы V тұйық облысында үзіліссіз болса, ал

(1)

функцияларының UVW кеңістігіндегі Т тұйық облысында үзіліссіз дербес туындылары бар болып және осы облысты XYZ кеңістігіндегі V облысына бірмәнді бейнелесе, онда келесі теңдік орындалады:

(2)

мұндағы - якобиан бейнелеуі

28-билет

Үш еселі интегралды цилиндрлік және сфералық координаталар жүйесінде есептеу. Мысал келтіру

XYZ кеңістігіндегі нүктесінің орны үш санды белгілеуден бірмәнді анықталады, мұндағы - М нүктесінің XOY жазықтығындағы проекциясы радиус-вектордың ұзындығы, - OX өсімен радиус-вектор арасындағы бұрыш, z – М нүктесінің аппликатасы. Олар М нүктесінің декарттық координаталарымен келесі қатынастар арқылы байланысады:

(1)

Анықтама бойынша , .

Якобиан бейнелеуі:

берілген жолақта теріс емес ( жолақтың шекарасында ғана).

сурет 4.16.2

(1) формуласын үш еселі интегралға қолдану үш еселі интегралда декарттық координатадан цилиндрлік координатаға көшу формуласы деп аталады:

Мұнда Т – (1) формуласы арқылы V облысынының кеңістігіндегі бейнеленген облысы.

Мысалы. беттерімен шектелген дененің V көлемін цилиндрлік координата арқылы есептеңіз.

Т арқылы беттерімен шектелген кеңістігінің облысын белгілейміз (сурет 4.16.4.).

сурет 4.16.3

Үш еселі интегралда сфералық координаталарға көшу

 XYZ кеңістігіндегі нүктесінің сфералық координаталары деп сандарын айтамыз, мұндағы - радиус-векторының ұзындығы, - радиус-вектордың XOY жазықтығындағы проекциясымен OX өсінің арасындағы бұрыш, ал - М нүктесімен радиус-вектор арасындағы бұрыш (сурет 4.16.6.). М нүктесінің бұл сандармен берілуі оның XYZ кеңістігіндегі орнын анықтайды.

сурет 4.16.5 сурет 4.16.6

М нүктесінің x, y, z декарттық координаталары сфералық координаталармен келесі формула арқылы байланысады:

. (1)

Анықтама бойынша ,

кеңістігіндегі жазықтығына XYZ кеңістігінде сфера сәйкес келеді, ал жазықтығына - OZ өсінен OX-пен бұрыш жасап өтетін жарты жазықтық, ал жазықтығына - жасаушылары XOY жазықтығымен бұрыш жасайтын, О төбесі болатын дөңгелек конус сәйкес келеді (сурет 4.16.8.). Якобиан бейнелеуі:

Берілген жолақта якобиан бейнелеуі теріс емес, тек жолақ шекарасында нөлге айналады.

(1) бейнелеуі арқылы үш еселі интегралда айнымалыны ауыстыруға болады:

(2)

мұнда Т – V облысының кеңістігіндегі бейнесі. Бұл формула үш еселі интегралда декарттық координатадан сфералық координатаға көшу деп аталады.

29-билет