Екі еселі интегралды есептеу, айнымалыны алмастыру. Екі еселі интегралды полярлы жүйеде есептеу

Шенелген f(x,y) фун/сы шенелген тұйық D Oxy аймақта анықталған болсын . D аймығын кез келген тәсілмен шекараларынан басқа ортақ нүктелері жоқ, саны ақырлы D₁ D₂…D_n бөлшектерге бөлеміз ;олардың аудандарын ΔS₁ΔS₂…ΔS_n деп белгілеп , әрбір бөлікшеден N(x_i ,y_i) нүкте алып σ_n=∑ⁿ_i=1f(M_i)ΔS_i=∑ⁿ_i=1f(x_i,y_i) ΔS_i Риманның интегралдық қосындысы деп аталатын қосындыны құрамыз . D_i бөлікшенің диаметрін d(D_i)=sup_{N’ϵDi,N”ϵDi}|ρ(N’,N”)|, ал maxd(D_i)=λ деп белгілейміз. Анықтама:Егер ақырлы lim_λ→0∑ⁿ_i=1f(x_i,y_i) ΔS_i шек бар болса , ол шектіf(x,y) фун/ң D аймағындағы екі еселі Риман интегралы деп аталады ж/еlim_λ→0∑ⁿ_i=1f(M_i)dS_i=∫∫_Df(x,y)dS=∫∫_Df(M)dS=∫∫_Df(x,y)dxdy символдарының біреуімен белгілейді. Бір өлшемді интегралдардың негізгі қасиеттері екі еселі интегралдар үшін де орындалады. Егер x=α, a<α<b, түзулері D аймағының шекарасын екіден артық нүктеде қимаса, онда ол Oy- осінің бағыты бойынша дұрыс аймақ , ал y=β, c<β<d түзулері шекараны екіден артық нүктеде қимаса, онда D аймағы Ox осінің бағыты бойынша дұрыс аймақ деп аталады,Ox осі бойынша да,Oy осі бойынша дадұрыс аймақты қысқаша дұрыс аймақ деп атайды. Құрақты-тегіс шекарасы бар, шенелген тұйық D̅=DỦГ аймағында үз/сіз туындылары барu=u(x,y), v=v(x,y) фун/р D̅ аймағын шекарасы құрақты тегіс болтын белгілі бір шенелген тұйық̅D̅̅̅*=D*+Г* аймаққа өзара бірмәнді бейнелесін дейік. Яғни D*аймақта үз/сіз дифференциалданатын x=x(u,v), y=y(u,v) фун/ры бар болып , олар Ouv тік бұрышты коорд. жазықтығындағы D̅* аймақты̅D аймағына бейнелейді ж/е бейнелеудің Якобиан анықтауышы J(u,v)= болып, ∫∫_Df(x,y)dxdy=∫∫_D*f[x(u,v),y(u,v)]J(u,v)dudvмына формула орынды болады : Дербес жағдайда x=ρcosφ,y=ρsinφ ауыстырулары бойынша (ρ,φ)полярлық коорд өтсек j(ρ,φ)=ρ∫∫_Df(x,y)dxdy=∫∫_D*f(ρcosφ, ρsinφ)ρdρdφ Мысал:x²+y²-1, x²+y²+4 ρ²=1 ρ=1 1≤ρ≤ 2 ρ²=4ρ=2 0≤φ≤π/2

∫∫_D(x+y)dxdy=∫^π/2₀ du∫²₁ ρ²(cosφ+sinφ)dρ=7/3∫^π/2₀ (cosφ+sinφ)dφ=7/3(sinφ-cosφ)=7/3(1-0)=7/39+

24-билет

Екі еселі интегралдың геометриялық және механикалық есептеулерде қолданылуы

Көлем есептеу : қисықсызықты цилиндр көлемін есептеу: V= ∫∫_Df(x,y)dxdy Аудан есептеу:S= ∫∫_Ddxdy Oxy жазықтығындағы шенелген D аймақ x=ρcosφ, y=ρsinφ полярлық координата S=∫∫_Dρdρdφ Беттің ауданын есептеу z=f(x,y) S=∫∫_D : Ауырлық центрі Егер (x_c y_c) нүктесіOxy жазықтығындағы пластинканың ауырлық центрі,ρ=ρ(x,y) тығыздығы болсаонда x_c=1/m∫∫_Dρxdxdy, y_c=1/m∫∫_Dρydxdy , m=∫∫_Dρdxdy m- пластинка массасы;инерция моментіJ_x , J_y , J₀инерция моменттері мына формуламен табылады: J_x=∫∫_Dρy²dxdy; J_y=∫∫_Dρx²dxdy; J₀= ∫∫_D (x²+y²)ρdxdy ρ=ρ(x,y)пластинканыңтығыздығы J_xy=∫∫_Dρxydxdy

25-билет

Үш еселі интеграл және оның қасиеттері

XYZ кеңістігінде V кубталатын тұйық облысында кез келген функция берілсін. V облысын ортақ ішкі нүктелері болмайтын n облыстарға бөлейік. облыстарынының әрбірінен нүктелерін аламыз. функциясының нүктелеріндегі мәндерін көлемдеріне көбейтіп, осындай көбейткіштерді қосамыз. Алынған қосынды функциясы үшін V облысы бойынша интегралдық қосынды деп аталады. функциясы үшін V облысы бойынша шексіз интегралдық қосынды құруға болады.

Егер V облысында бөлу қадамы нөлге ұмтылғанда интегралдық қосындының шегі бар болса, онда бұл шек функциясының V облысы бойынша үш еселі интеграл деп аталады және оны

немесе

символымен белгілейді.

Мұндағы - интеграл астындағы функция, V – интегралдау облысы, x, y және z – интегралдау айнымалылары, - көлем элементі.

Үш еселі интегралдар екі еселі интегралдардың үш өлшемді кеңістіктегі жалпы жағдайы.

Теорема 1. Егер функциясы V тұйық облысында үзіліссіз болса, онда үш еселі интеграл бар болады.

Үш еселі интегралдың геометриялық мағынасы: V дененің көлемін үш еселі интеграл арқылы есептеуге болады

Үш еселі интегралдың механикалық мағынасы: V дененің массасы

формуласымен анықталады, мұндағы - масса тығыздығы.

Үш еселі интегралдың негізгі қасиеттері:

1. Үш еселі интеграл интегралдау айнымалыларын белгілеуден тәуелді емес, яғни

2. Тұрақты көбейткішті үш еселі интеграл таңбасының алдына шығаруға болады:

мұндағы k – сан.

3. Екі функция қосындысының үш еселі интегралы осы функциялардың үш еселі интегралдарының қосындысына тең:

4. Егер V облысы екі V1 және V2 облыстарына бөлінсе, онда

5. Егер V облысында

6. Егер V облысында

онда

7.

26-билет