Функционалдық қатар. Дәрежелік қатардың жинақтылығы. Абель теоремасы

түріндегі қатар функционалдық қатар деп аталады.

Егер х=x₀ қатары жинақталса, онда x₀ нүктесі қатарының жинақталу нүктесі деп аталады.

функционалдық қатардың жинақты болатын х-тің барлық мәндерін жинақталу облысы деп аталады.

S(x)= , =

функционалдық қатардың әрбір мүшесі , , ,… болатындай табылады . Және егер

+ жинақты болса, онда қатарды мажорланған қатар деп атаймыз. Мысалы: қатар мажорланған себебі 1

Бірқалапты жинақтылық. Қатар бірқалапты жинақталады егер >0

N( )>0 n N мына теңсіздік орындалса : | |<

Егер функционалдық мажорланған болса, онда сол жинақталу облысында қатар бірқалыпты жинақты болады.

Дәрежелік қатар. Дәрежелік қатар деп мына түрдегі қатарды айтамыз: + +

=0 нүктесінде жинақты

Абель теоремасы: Егер дәрежелік қатар 0 нүктесінде жинақты болса, онда |x|<| | барлық х-тер үшін дәрежелік қатар абсолютті жинақты, ал 0 жинақсыз болса онда | |<| x| қанағаттандыратын x-тің барлық мәндерінде қатар жинақсыз.

19-билет

Дәрежелік қатардың жинақтық интервалы және жинақтылық радиусы

Әрбір дәрежелік қатары үшін |x-a| тұйық интервалы бар, мұнда интервалдың ішінде қатар жинақталады, ал сыртында жинақталмайды. Бұл жерде дегеніміз жинақталу радиусы деп аталады. Оны табудың екі жолы бар:

1. Коши-Адамар формуласы: =

2. R= , егер де бұл шек бар болса.

Мысал:

Даламбер белгісін қолдансақ: |=| |*1<1

| |<1, x<1 , R=1 жинақталу облысы(-1;1)

x=-1: = =-1+ -

1. 1> > >… , яғни монотонды кемімелі

2. =0. Жинақталады, яғни -1 нүктесі кіреді. [-1;1)

x=1: 1) =1- - монотонды кемімелі

2) =0. Жинақталады, яғни 1 нүктесі де кіреді. [-1;1]

20-билет

Тейлор және Макларен қатарлары. Тейлор қатарына жіктелуінің қажетті және жеткілікті шарты

Айталық f(x) нүктесінің маңайында анықталған және n+1ретті туындысы бар болсын.

f(x)= + (x- )+ + + формуласы функцияның Тейлор қатарына жіктелуі деп аталады. Мұнда = қалдық мүше деп аталады.

Ал f(x)= f(x) функциясының Тейлор қатарына жіктелуі деп аталады. Ал Малорен қатары.

Теорема: f(x) функциясы жинақты болуы үшін =0 болуы қажетті және жеткілікті.

Теорема: Функцияның Тейлор қатарына жіктелуінің жеткілікті шарты: Егер f(x) функциясының барлық туындысы | | белгілі бір M санымен шектелсе, онда барлық | | <M х-тер үшін Тейлор қатарының f(x) функциясы жинақты.

21-билет

Кейбір элементар функцияның тейлор қатарына жіктелуі

1) e^x=1+x/1!+x²/2!+…+xⁿ/n!+… e^x=∑∞_n=0 xⁿ/n!

2^○ f(x)=sinxsinx=x-x³/3!+x⁵/5!+…+(-1)^n-1x^2n-1/(2n-1)! sinx=∑∞_n=1(-1)^n-1x^2n-1/(2n-1)!

Cosx=∑∞_n=1(-1)ⁿx²ⁿ/2n!

3^○ ∑∞_n=0xⁿ =1+x+x² +x³ +…+xⁿ |x|<1 q=x

1/1-x=∑∞_n=0xⁿ(|x|<1) 1/1-x=1-x+x²-x³+…= ∑∞_n=0 (-1)ⁿ * xⁿ (-1;1)

4^○ ln(1+x)=^x₀∫dx/1+x=x-x²/2+x³/3-x⁴/4+…=∑∞_n=0 (-1)ⁿxⁿ⁺¹/(n+1)

5^○ f(x)=(1+x)^ἀ=1+ἀx/1!+ἀ(ἀ-1)x²/2!+…+ἀ(ἀ-1)(ἀ-n+1)xⁿ/n!

22-билет

Екі еселі интеграл. Негізгі қасиеттері

z=f(x,y) D облысында анықталған D:D_i i=1̅,n̅ D_i M(x_i,y_i) f(x_i,y_i) ΔS_i–D_iоблысының ауданы, ∑ⁿ_i=1 f(x_i,y_i) S_i g-облысы бойынша интегралдық қосындысы. lim_n→∞∑ⁿ_i=1 f(x_i,y_i) S_i =∫_D∫f(x,y)dS . Егер f(x,y) үшін интегралдық қосындының n→∞ (maxdi→0) шегі D облысын n бөлікке бөлу әдісіне тәуелсіз ж/е осы облыстан M(x_i,y_i)нүкелерін таңдап алу әдісіне тәуелсіз бар болса онда осы шекті f(x,y) ф/ң D облысы бойынша екі еселі интегралы д.а. мұндағы f(x,y) интегралдық ф/я,dS- бөліктің ауданы. z=(x, y) D олысында шенелген болуы қажеттң ғана .TH:z=(x, y) D олысында үзіліссіз болса онда функция облысы интегралданады, яғни екі еселі интегралы бар. Дарбу ережесі: lim_n→∞(S-s)=0 Қасиеттері:

1.∫∫_D kfdS=k∫∫_DfdS 2.∫∫_D(f₁±f₂)dS=∫∫_D f₁dS+∫∫_D f₂dS

3. D=D₁∩D₂→∫∫_Df(x,y)dS=∫∫_D1f(x,y)dS+∫∫_D2f(x,y)dS

4.f(x,y)>0→∫∫_Df(x,y)>0 f₁≥f₂→∫∫_Df₁≥∫∫_Df₂

5.m≤f(x,y)≤M (облысында үз/сіз болса ең үлкен ең кіші мәні табылады)mS≤∫∫_Df(x,y)dS≤MSЕкі еселі интегралды бағалау

6. ∫∫_Df(x,y)dS=f(x₀,y₀)S f(x₀,y₀)=1/2∫∫_Df(x,y)dS

23-билет