Риман интегралы геометриялық және механикалық есептерде қолданылуы

Анықтама.Егер интегралдық қосынды -ның нөлге ұмтылғанда (барлық бөлік сегменттердің ұзындықтары нөлге ұмтылғанда) сегментін бөлу тәсілінен тәуелсіз және әр бөлік сегменттен нүктесін таңдап алудан тәуелсіз шекті (тиянақты) шегі бар болса, осы шекті функциясының -дан -ға дейінгі немесе сегментіндегі Риман бойынша интегралданады деп,атайды да оны деп белгілейді. санын санын Риманның анықталған интегралы д.а және д. белгілейді.

Мұндағы - интеграл астындағы функция, - интеграл астындағы өрнек, саны –интегралдың төменгі, саны – интегралдың жоғарғы шегі, ал айнымалысы – интегралдау айнымалысы деп аталады. Қисық сызықты трапеция деп жазықтығындағы осімен, және түзулерімен шектелген облысты айтамыз, мұндағы және функциясының графигі аралығында үзіліссіз

1. 

2. Қисық сызықты трапецияның ауданын жуық шамамен оны мәндері функциясының кейбір таңдап алынған нүктелеріндегі мәндерге тең болатын табаны мен биіктіктері өте аз тік төртбұрыштардың аудандарының қосындысымен алмастыру көмегімен табуға болады.

3. Қисық сызықты трапецияның ауданы, оны шекаралайтын қисықтың ординатасынан табаны бойынша алынған интегралға тең:

. Анықталған интегралдың геометриялық мағынасы қысқаша былай тұжырымдалады: теріс емес функциядан алынған анықталған интеграл қисық сызықты трапецияның ауданына тең.

қисықтық теңдеуі параметрлік түрде берілсін, яғни .

Мұндағы функциясы кесіндісінде біркелкі, сонымен бірге және оның туындысы берілген кесіндіде үздіксіз дейік.

Ал, болғандықтан, анықталған интегралдағы айнымалы алмастыру формуласы бойынша аудан үшін мынадай өрнекті алуға болады:

Мысал. y= , x= .

S=

4-билет

Көп айнымалы функция, оның шегі, үзіліссіздігі

y=f(x) M тиісті {M} жазықтықтағы нүктеге сандар екіігі сәйкес келеді. Егер f сәйкестігі {M} жиынның қарастырылған (x,y) екілігіне f сәйкестігі бір ғана нақты z санды анықтасақ, онда айнымалы z-ті айнымалы x пен y-тің функциясы д.а., ал x пен у тәуелсіз айнымалы.

Евклид жазықтығы дегеніміз: Егер , нүктелерінің арақашықтығы мына формуламен табылса, онда мұндай коорд жазықтығын Евклид жазықтығы д.а.

M₀(x₀,y₀) . Егер функциясының шегі - (1). Үзіліссіздігі: . болса, онда f(x) нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

5-билет

Көп айнымалы функцияның дербес туындылары. Жоғарғы ретті дербес туынды. Шварц теоремасы

M₀(x₀,y₀) ж/не оның маңайында анықталған функциясы берілсін

1-ретті дербес туынды . нүктесінде үзіліссіз болса, онда осы нүктеде туындысы үзіліссіз болмауы мүмкін. Мысалы: . Ш: , .

Жоғарғы ретті дербес туынды

үзіліссіз болса дербес туындылары бар.

– 1 ретті туындылар, – x бойынша 2 ретті туынды

- аралас 2 ретті туынды, y бойынша 2 ретті туынды

екінші ретті туынды мына формуламен анықталады:   .

Шварц теормасы. Егер z=xy функциясы және оның 1-ретті дербес туындылары үзіліссіз (М нүктесінде) болса, онда

6-билет

Көп айнымалы функцияның дифференциалдануы. Толық дифференциал және оны жуықтап есептеуде қолдану

(1)

Егер ф-ның өсімшесін 1-ші түрде жазылатын болса => z функциясын М нүктесінде дифференциалданады д.а. Мұндағы α,β – шексіз аз шамалар, егер ∆х →0, ∆y→0, A,B – ақырлы сандар.1-түрдегі формуланы алғашқы 2 мүшесінің қосындысы басты бөлігін құрайды. ∆х ,∆y мүшесін сызықты ең басты бөлігін дифференциалы д.а.

Теорема-1(қажетті ж/не жеткілікті шарты) Егер функциясы М нүктесінде дифференциалданатын болса, онда ол сол нүктеде үзіліссіз болады, ,

Жеткілікті шарты. Егер M₀(x₀,y₀) нүктесінде үзіліссіз болады, ж/не оның дербес туындылары сол маңайда үзіліссіз б/са, онда бұл ф/я сол нүктеде дифференциалданады ж/не дербес туындалары болады.

, Лагранж теоремасы б/ша

Анықтама. өсімшесінің -ке қарағанда ең басты бөлігің функцияның толық дифференциалы д.а.

2-ретті толық туынды

Мысал:

8-билет

Көп айнымалы күрделі функцияны дифференциалдау. Толық туынды формуласы. Мысалдар

1. М нүктесінде анықталған, үзіліссіз

- толық туынды

2. 

3. ,

9-билет

Айқындалмаған функцияның бар болуы және оның дифференциалдану туралы теоремасы

Айқындалмаған функция және оның туындысы. Егер х пен у-тің арасындағы тәуелділік z=f(x,y), F(х,у,z)=0 теңдеуі түрінде берілсе,функция у айқындалмаған түрде берілген, яғни у арқылы шешiлмеген тѕрде берiлген деймiз. Соңғы жағдайда F(х,у,z)=0 теңдеу z арқылы шешiлуi де ,шешiлмейтiн де, болуы мүмкiн. Егер дифференциалдық теңдеуді интегралдағанда жалпы шешім айқындалмаған түрде алмайтын болса, онда оны әдетте жалпы интеграл деп атайды. Д облысында жалпы шешім болатын функциясын айқындалмаған түрде анықталмайтын Ф(х,y,с)=0 өрнегін (3) теңдеудің Д облысындағы жалпы интегралы деп атайды.

Бар болуы(теорема):

Егер 1) F(х,у,z)=0 ф-сы өзінің дербес туындылары мен М(х₀,у₀,z₀) нүктесінің маңайында анықталған ж/не үзіліссіз б/са; 2) F(х₀,у₀,z₀)=0; 3) F_z^”(х₀,у₀,z₀)≠0 орындалса онда: М(х₀,у₀,z₀) нүктесінің δ маңайында а) F(х,у,z)=0 теңдеуі z=z(x,y) бір мәнді анықталады; б) z(х₀,у₀)=z₀; в) z(x,y) ф/я өзінің аргументтері б/ша үзіліссіз г) z(x,y) ф/ның үзіліссіз дербес туындылары бар. Егерде болса, онда теорема қолданылмайды, М ерекше нүкте болады б.Айқындалмаған ф-ның дербес туындылары: F(х,у,z)=0 x,y – тәуелсіз айнымалы,

Егер (3) теңдеудің жалпы интегралы

Ф₀ (х,y)= С

түрінде жазылса, онда Ф₀ (х,y) функциясы (3) теңдеудің интегралы деп аталады.

МЫСАЛЫ: теңдеудің шешімдерін табу керек.

Шешуі. деп алып, берілген теңдеуді мына түрде жазайық.

Бұдан себебі y>0, немесе

Бұл берілген теңдеудің жалпы шешімі. Оған y = 0мәні кірмейді.Егер y = 0мәнін

қарастырсақ, оның теңдеудің шешімі болтындығы көзбе – көз көрініп тұр.

Бұл шешімнің (х-өсінің ) кез келген нуктесінен екі шешім өтіп тұр: біреуі жалпы шешімнен С-ның осы нүктеде анықталатын мәніне сәйкес алынатын парабеланың бір бұтағы, ал екіншісі осы y = 0 түзуінің өзі:

Олай y = 0 ерекше шешім.

10-билет

Кез келген бағыт бойынша туынды және Градиент

нүктеде анықталған, ж/не осы нүктенің маңайында дифференциалданатын ф-сы берілсін

-- бағыт бойынша туынды ж/не градиент

Анықтама. Координаталары функциясының М нүктесінде есептелген дербес туындысы болатын векторды сол функциясының градиенті д.а. ж/не , былай белгіленеді.

11-билет

Екі айнымалы функция үшін локальдық экстремумның қажетті және жеткілікті шарттары

Экстремум анықтамасы. Қажетті шарт. f сандық функциясы - жиынында анықталсын. Егер, біріншіден, а нүктесі Е жиынының ішкі нүктесі болса, екіншіден, кірістіруі орындалатындай қайсыбір δ оң саны мен әрбір x V (a) үшін f(x)≤f(a) (f(x)≥f(a)) теңсіздігі орындалса, онда а нүктесін f(x) функциясы локальді максимум (локальді минимум) мәнін қабылдайтын нүкте, не қысқаша a — локальді максимум (локальді минимум) нүктесі д.а..

n=1 үшін (a) = (a - δ, a + δ) болады. Сөйтіп, көп айнымалы жағдайында а локальді максимум (локальді минимум) нүктесі болуы үшін а нүктесі функцияның анықталу жиынының ішкі нүктесі болып, оның белгілі бір маңайында функцияның ең үлкен (ең кіші) мәні болуы қажет. Бір айнымалы жағдайындағы сияқты, локальді максимум (локальді минимум) анықтамасында f(a) мәні бір ғана а нүктесінде қабылданса, яғни х≠а, x V (a) болғанда f(x)<f(a) (f (x)>f(a)) болса, онда а нүктесі f функциясының локальді қатаң максимум (локальді қатаң минимум) нүктесі деп аталады. Локальді максимум мен локальді минимумді локальді экстремум д.а.. Егер a нүктесі f функциясы үшін локальді экстремум нүктесі болып, f функциясының а нүктесінде барлық дербес туындылары бар болса, онда сол дербес туындылар міндетті түрде нөльге тең болады, яғни

(2)

Расында да, әрбір і (і=1, ..., п) үшін {a_i - δ , a_i + δ) аралығында бір айнымалылы φ(t) =f (a₁, ..., a_i-1, t, a_i+1 , ... , a_n) функциясын қарастырсақ, онда t=a_i нүктесі локальді экстремум нүктесі болады (мәселен, a — локальді максимум нүктесі табылса, онда φ(t)=f(а₁ ...,a_i-1, t, a_i+1, ..., а_1п) ≤ f(a₁ ..., а_п)= =φ(а_i), яғни a_i нүктесі φ(t) функциясы үшін локальді максимум нүктесі), ал дербес туынды анықтамасы бойынша (3) болғандықтан, φ(t) функциясы t=a_i нүктесінде дифференциалданады. Сондықтан, бір айнымалылы φ(t) функциясына Ферма теоремасын қолданып, теңдігіне келеміз, демек, (3) бойынша теңдігі дәлелденді.Сөйтіп, f функциясының Е жиынының әрбір ішкі нүктесі барлық бірінші ретті дербес туындылары бар болса, онда оның локальді экстремум нүктелерін (2) теңдіктерін қанағаттандыратын а нүктелерінің арасынан іздестіру керек.

Экстремумның жеткілікті шарттары. (екі айнымалы жағдайы). 1-теорема. Екі айнымалы сандық f(х,y) функциясы (а,b) нүктесінің қайсыбір δ_о-маңайында анықталып, сол маңайда (х,y), (х,y), (х,y), (х,y), (х,y) дербес туындылары бар және үзіліссіз болып, сол нүктенің өзінде локальді экстремумның қажетті шарты орындалсын: (a,b)=0, (a,b)=0 (4) Мынадай белгілеулер енгізейік. А (a,b), B (a,b), C (a,b) (a,b), (5) онда: 1) егер >0 болса, онда (а,b) локальді экстремум нүктесі болып, А>0 болғанда локальді қатаң минимум, А<0 болғанда локальді қатаң максимум нүктесі болады; 2) егер <0 болса, онда (а,b) нүктесі локальді экстремум нүктесі емес;3) егер =0 болса, онда (а,b) нүктесі туралы нақтылы ештеңе айтуға болмайды: ол локальді экстремум нүктесі болуы да, болмауы да мүмкін.

12-билет