Лекция 3. Расчеты потоков платежей (финансовые ренты)

Очень часто в контрактах финансового характера предусматривают не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во вре­мени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, пе­риодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некото­рый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страхо­вой, резервный, накопительный и т.д.).

Ряд после­довательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выпла­ты представляются отрицательными величинами, а поступления - положи­тельными.

Обобщающими характеристиками потока платежей являются:

• нара­щенная сумма;

• современная величина.

Наращенная сумма потока платежей это сумма всех членов по­следовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.

Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей. Например, нара­щенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда, общую сумму задолжен­ности. Современная величина может характеризовать приведенную при­быль, приведенные издержки.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или ан­нуитетом.

Финансовая рента имеет следующие параметры:

*член ренты - ве­личина каждого отдельного платежа,

*период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами,

*срок ренты - время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода,

*процентная ставка - ставка, используемая при наращении или дисконтировании пла­тежей, образующих ренту,

Классификация финансовых рент может быть произведена по различным при­знакам:

В зависимости от продолжительности периода, ренты делят на го­довые и Р-срочные, где р - число выплат в году.

По числу начислений процентов различают ренты с начислением один раз в году, m-раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

По величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты. Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стан­дартные формулы, значительно упрощающие расчеты.

По числу членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные и бесконечные/вечные. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.

Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются обычными или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо.

Формулы наращенной суммы финансовой ренты в зависимости от уловий:

а) Обычная годовая рента

Пусть в конце каждого года в течение n - лет на расчетный счет вно­сится по R рублей (размер платежа), проценты начисляются один раз в год по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины:

S = [R (1 + i)n - 1] / i (21)

Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии

Пример: В течение 3-х лет на расчетный счет в конце года поступает по 10 млн. руб. на которые начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на счете в конце срока.

S = [R (1 + i)n - 1] / i = [10 * (1 + 0,1)3 – 1] / 0,1 = 33, 10 млн. руб.

б) Годовая рента с начислением процентов m -раз в году

В этом случае платежи делаются один раз в конце года, а проценты начисляются m – раз в году.

S = [R (1 + i / m)nm - 1] / [(1 + i / m)m - 1] (22)

Из предыдущего примера, в течение 3-х лет на расчетный счет в конце года поступает по 10 млн. руб. на которые начисляются проценты по полугодиям по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на счете в конце срока.

S = [10 * (1 + 0,1/2)3*2 – 1] / [ (1 + 0,1/2)2 – 1] = 33,17 млн. руб.