Лекция 2. Расчет простых и сложных процентов

Простые проценты используются, прежде всего, при краткосрочном кредитовании, когда один раз в квартал или другой срок, определен­ный договором, производится начисление процентов и выплата их кре­дитору. Как правило, в настоящее время преимущественно применяет­ся изложенный выше способ. При этом общий объем платежей заемщика с учетом основной суммы долга составит:

S = P (1 + n i) (15)

где S - сумма выплат по кредиту с учетом первоначального долга; Р - первоначальный долг; i - ставка процентов; n - продолжительность ссуды в годах либо отношение периода пользования ссудой в днях к применяемой базе (360 или 365 дням).

Очень часто в банковской практике приходится производить опера­цию, обратную процедуре начисления процентов. Это имеет место, напри­мер, в случае обращения векселей. В этом случае при опреде­лении первоначального долга будет применяться следующая формула:

Р = S / (1 + n i) (16)

Предположим, банк выпустил вексель на следующих условиях: век­сельная сумма по номиналу 100 млн. руб. сроком на 3 месяца при усло­вии уплаты 10% годовых. Сумма платежа в случае размещения вексе­ля составит:

Р = 100 / (1 + 3/12 *0,1) = 97,56 млн. руб.

При процедуре учета векселей для определения суммы платежа до истечения срока их предъявления используется следующая формула:

S = P (1 + n d) (17)

где d - простая учетная ставка.

Например, банк учитывает вексель за 20 дней досрочно до установ­ленной даты погашения обязательства. При этом вексельная сумма дана 100 млн. руб., а учетная ставка – 12 % годовых. В этом случае сумма, по которой вексель учитывается, составит:

Р = 100 [1 – 0,12 * (20 / 360)] = 99,33 млн. руб.

В банковской практике возможно использование сложного процента, как правило, при долгосрочном кредитовании, когда начисленные суммы не выплачиваются кредитору до окончания сделки, а увеличивают основную сумму долга.

В отечественной практике метод начисления сложных процентов получил наибольшее распространение по депозитным счетам частных лиц.

При использовании этого метода размер начисленных средств вклю­чается в задолженность и на них продолжает начисляться процент. Формулу для начисления сложных процентов и определения обшей сум­мы задолженности можно представить в виде:

- при постоянной ставке процентов:

S = P (1 + i)n (18)

- при переменной ставке процентов:

S = P (1 + i)n x (1 + i2)n 2 x … (1 + it)nt (19)

S - сумма долга через t лет; Р - объем предоставленной ссуды; it - ставка процента; nt - продолжительность ссуды в годах, в течение которых применялись данные ставки.

Рассмотрим условный пример.

Допустим, банком выдана ссуда заемщику в размере Р = 10 000 руб. на 5 лет с уплатой 10% годовых по истечении срока займа. Определить размер задолженности через 5 лет.

S = 10 000 х (1 + 0,1)5 = 16 105 руб.

Общая сумма начисленных за 5 лет процентов при указанном спо­собе составит:

S - Р = (16 105 - 10 000) = 6 105 руб.

В случае если бы банк использовал простые проценты и взыскивал их ежегодно, то доход от этой сделки был бы равен:

I = 10 000 х 10% х 5 лет = 5 000 руб.

Как видим, получено довольно ощутимое отклонение, которое ве­дет к увеличению чистого дохода банка на 1 105 [6 105 - 5 000] руб.

При начислении процентов несколько раз (m - раз в году) в году рассмотренная выше формула сложных процентов примет вид:

S = P (1 + i/m)n *m (20)

где m - число начислений процентов в году.

Так, число дней ссуды может определяться точно или приближенно, когда продолжительность любого полного месяца признается равной 30 дням. Временная база приравнивается либо к фактической продол­жительности года (365 или 366 дней) или приближенно к 360 дням. Со­ответственно, применяют следующие варианты начисления сложных процентов:

1. Точные проценты с фактическим числом дней ссуды - дает самые точные результаты и применяется многими центральными и круп­ными коммерческими банками. Он характеризуется тем, что для расчета используется точное число дней ссуды, временная база равняется факти­ческой продолжительности года. Например,

Р - сумма выданного кредита - 100 000 руб., i - ставка процента - 9% годовых.; К - точное число дней ссуды; S - наращенная сумма долга.

Тогда:

S = 100 000 х (1+ 0,09% х 260 дн.: 365 дн.) = 106 411 руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. В этом слу­чае, так же как и в предыдущем, для расчета берется точное число дней ссуды, но временная база приравнивается к 360 дням. Если срок креди­та превышает 360 дней, то сумма начисленных процентов будет боль­ше, чем предусмотрено годовой ставкой (так, если период ссуды равен 364 дням, то 364 : 360 = 1,011). Рассмотрим данный способ на предло­женном выше примере:

S = 100 000 х (1 + 0,09% х 260 дн. : 360 дн.) = 106 499 руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Здесь продолжительность ссуды в днях определяется приближенно, вре­менная база равна 360 дням. Считается, что точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, поэтому и размер начис­ленных процентов с точным числом дней обычно больше, чем с при­ближенным.

В нашем примере приближенное число дней ссуды равно 257 дням (S), учитывая это:

S = 100 000 х (1 + 0,09% х 257 дн. : 360 дн.) = 106 424 руб.

Приведенные расчеты показывают, что второй способ начисления процентов, а именно обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды дает несколько больший результат относительно двух других ва­риантов.

Банковская практика в России предусматривает:

- по привлеченным и размещенным средствам начисление по первому способу, а именно - как точные проценты с фактическим числом дней ссуды.

- по векселям и депозитным сертификатам применяется способ начисле­ния обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды.