Задание № 6. Кратчайший путь на транспортной сети.

Действие №1:

вершины графа последовательно нумеруются порядковыми номерами, причем очередной вершиной является такая вершина, в которую входят стрелки, исходящие только из ранее окрашенных (занумерованных) вершин. Начальной вершине (А) удобно присвоить номер 0.

Из вершины А исходят стрелки к вершинам c, d,e. Поэтому можно нумеровать все 3 вершины.

Теперь можно занумеровать, например, вершину f (в которую входят стрелки только от «окрашенной» вершины 2) номером 4, а затем вершину g , в которую входят стрелки от окрашенных вершин «1» и «4» номером 5.

Продолжая этот процесс можно получить нумерацию, размещенную на рисунке.

Действие № 2. Определение длин кратчайших путей.

В вершины 1, 2 и 3 входит только одна стрелка (от вершины 0). Расстояние от вершины 1 до вершины 0 составляет 7 км. Так же определяются расстояния от вершин 2 и 3. Выделяем эти 3 пути жирными стрелками.

А вот в вершину 5 можно попасть двумя путями: через вершину 1 или вершину 4. В первом случае расстояние до 0-вершины составит 7+6=13 км, а во втором – 11+3=14. Таким образом кратчайшее расстояние до вершины 0 равно 13 км. Выделим этот путь жирными стрелками.

Продолжаем эти действия. С вершинами 6, 7, 8 все ясно, а вот в вершину 9 входят сразу 2 стрелки: от вершин 7 и 8. Кратчайшее из трех возможных расстояний до вершины 0 равно 15 км. Его и надписываем около вершины 9.

Таким образом, если в очередную вершину входят несколько стрелок, то надо сложить «длины» этих стрелок с кратчайшими расстояниями, надписанными около «исходящих» соседних вершин, и выбрать из них наименьшую. Попутно выделить наметившийся отрезок кратчайшего пути.

Действие № 3. Выделение кратчайшего пути.

В вершину В (№ 24) кратчайший путь ведет от вершины 22,

в которую ведет путь от вершины 19,

в которую ведет путь от вершины 16,

в которую ведет путь от вершины 12,

в которую ведет путь от вершины 6,

в которую ведет путь от вершины 2,

в которую ведет путь от вершины 0.

Проверим результат.

Контрольный расчет кратчайшего пути

Отрезок пути	Длина
0 – 2	5
2 – 6	7
6 – 12	6
12 – 16	3
16 – 19	2
19 – 22	2
22 – 24	3
Итого	28

Итак, кратчайший путь от вершины А (№0) до В (№24) – это путь через пункты 0-2-6-12--16-19-22-24, длина его составляет 28 км.

То, что этот путь кратчайший –очевидно, ведь если считать «назад» от конечной вершины В, то на выявленном пути мы все время имеем дело с «предыдущими кратчайшими путями»:

путь до вершины № 24 от № 22 лучше, чем от № 21 и №23,

путь до вершины № 22 от № 19 лучше, чем от № 18,

путь до вершины № 19 от № 16 лучше, чем от № 17.