Задание № 5. Динамическое программирование.

Методом динамического программирования решить задачу распределения капиталовложений между 4-мя отраслями производства.

«Задача оптимального распределения инвестиций»

В таблице №1 приведены значения (известного) экономического эффекта от вложений различных объемов инвестиций в каждую из четырех отраслей. Требуется распределить сумму инвестиций 700 млрд. руб. между четырьмя отраслями таким образом, чтобы суммарный экономический эффект был максимальным.

Объем инвестиций (млрд.руб.)	Х	0	100	200	300	400	500	600	700
Эк. эффект 1 отрасли	f1(x)	0	15	26	38	45	52	58	63
Эк. эффект 2 отрасли	f2(x)	0	10	17	23	29	34	38	41
Эк. эффект 3 отрасли	f3(x)	0	11	19	26	30	33	35	36
Эк. эффект 4 отрасли	f4(x)	0	25	34	41	46	50	53	56

Таблица №1.

1. Сначала задача решается только для двух отраслей, но для всех значений инвестиций от 0 до 700.

Например, какой эффект даст распределение суммы 300 млрд.руб. между первыми двумя отраслями ?

Если инвестиции распределить в соотношении 0+300, то эффект составит 23+0=23 млрд.руб.

Если инвестиции распределить в соотношении 100+200, то эффект составит 15+17=32 млрд.руб.

Если инвестиции распределить в соотношении 200+100, то эффект составит 26+10=36 млрд.руб.

Если инвестиции распределить в соотношении 300+0, то эффект составит 0+38=38 млрд.руб.

Таким образом, наилучший эффект от распределения 300 млрд. составляет 38 млрд.руб., если, к примеру, вложить все 300 млрд. в 1-ю отрасль, а во вторую не вкладывать ничего.

При реализации метода удобно вычисление эффекта производить в таблице «шахматного типа» (см. табл. №2). В этой таблице рассчитанные значения (23, 32, 36, 38) находятся на выделенной диагонали, соответствующей значению суммарных инвестиций 300. При заполнении этой таблицы не обязательно двигаться по указанным диагоналям, а можно перебирать все комбинации в сумме f1(x1)+f2(x2) двигаясь по клеткам таблицы в любом порядке, например, по строкам или по столбцам.

Вычислив все возможные комбинации слагаемых для всех инвестиций в диапазоне 0-700 с шагом 100, выбираем затем наилучший результат для каждого суммарного вложения, то есть находим максимум на каждой диагонали. Например, для уже упомянутого суммарного вложения 300 максимум на соответствующей диагонали равен 38. Для суммарного вложения 700 млрд. руб. максимальный эффект составляет 69 млрд. руб. Максимальные диагональные значения отмечены в таблице №2 звездочками.

Различные способы распределения инвестиций между первыми двумя отраслями (без учета третьей и четвертой)

Отрасль 1 Отрасль 2	Х1	0	100	200	300	400	500	600	700
Х2	f1 f2	0	15	26	38	45	52	58	63
0	0	0	15*	26*	38*	45	52	58	63
100	10	10	25	36	48*	55*	62*	68
200	17	17	32	43	55*	62*	69*
300	23	23	38	49	61	68
400	29	29	44	55	67
500	34	34	49	60
600	38	38	53
700	41	41

Таблица №2.

Тем самым на первом шаге применения метода получены наилучшие способы для каждого возможного значения инвестиций в сумме по первым двум отраслям (отмечены звездочками). Для дальнейших действий удобно этот результат оформить в виде вспомогательной таблицы №3, в которой наряду с наилучшими значениям экономического эффекта (g2(x)) указаны и значения инвестиций в одну из отраслей (а именно во вторую), при которых каждый наилучший результат получен.

Так, для инвестиций 600 млрд. наилучший результат составляет 62 млрд. и складывается, как видно из табл. №2, либо из соответствующих эффектов 45+17, получаемых при вложении в 1-ю отрасль 400 млрд., а во вторую – 200, либо из соответствующих эффектов 52+10, получаемых при вложении в 1-ю отрасль 500 млрд., а во вторую – 100. В таблице №3 фигурирует второе из этих чисел (х2=100(200) при х=600 и g2(x)=62). Для инвестиций 700 млрд. наилучших результатов, равных 69(при х2=200). Все они приведены в табл. №3.