Вариант 8

1. Пользуясь определением, найти сумму ряда

Вычислить частичные суммы ряда для .

2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

а) , б) , в) .

3. Найти область сходимости ряда . Вычислить с точностью сумму ряда в точках , где – радиус сходимости ряда.

4. Разложить функцию в ряд Маклорена. Определить область сходимости ряда.

5. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням и найти область сходимости полученного ряда.

6. Найти круг сходимости ряда .

7. Доказать, что функция существует на всей числовой оси, но ряд неравномерно сходится на промежутке .

8. Представить в виде степенного ряда решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Найти три члена ряда.

9. Используя ряды, вычислить приближенное значение интеграла с точностью . Указать число членов ряда, взятых в частичную сумму для достижения нужной точности на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

10. Разложить в ряд Фурье:

a) периодическую функцию ,

б) функцию , заданную на промежутке , продолжая её четным или нечетным образом на промежуток . Построить график суммы полученного ряда.

11. Пользуясь табличными разложениями функций в ряд Фурье, найти сумму числового ряда .

Вариант 9

1. Пользуясь определением, найти сумму ряда

Вычислить частичные суммы ряда для .

2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

а) , б) , в) .

3. Найти область сходимости ряда . Вычислить с точностью сумму ряда в точках , где – радиус сходимости ряда.

4. Разложить функцию в ряд Маклорена. Определить область сходимости ряда.

5. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням и найти область сходимости полученного ряда.

6. Найти круг сходимости ряда .

7. Показать, что ряд сходится равномерно на всей числовой оси, однако его нельзя почленно дифференцировать. Почему?

8. Представить в виде степенного ряда решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Найти три члена ряда.

9. Используя ряды, вычислить приближенное значение интеграла с точностью . Указать число членов ряда, взятых в частичную сумму для достижения нужной точности на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

10. Р азложить в ряд Фурье:

a) периодическую функцию с периодом (рис. 8),

б

Рис .8

) функцию заданную на промежутке , продолжая её четным или нечетным образом на промежуток . Построить график суммы полученного ряда.

11. П

    

    ользуясь табличными разложениями функций в ряд Фурье, найти сумму числового ряда .

Вариант 10

1. Пользуясь определением, найти сумму ряда

Вычислить частичные суммы ряда для .

2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

а) , б) , в) .

3. Найти область сходимости ряда . Вычислить с точностью сумму ряда в точках , где – радиус сходимости ряда.

4. Разложить функцию в ряд Маклорена. Определить область сходимости ряда.

5. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням и найти область сходимости полученного ряда.

6. Найти круг сходимости ряда .

7. Доказать, что функция существует на всей числовой оси, но ряд неравномерно сходится на , где .

8. Представить в виде степенного ряда решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Найти три члена ряда.

9. Используя ряды, вычислить приближенно значение интеграла с точностью . Указать число членов ряда, взятых в частичную сумму для достижения нужной точности на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

10. Р азложить в ряд Фурье:

a) периодическую функцию с периодом (рис. 9),

б) функцию , заданную на промежутке , продолжая её четным или нечетным образом на промежуток . Построить график суммы полученного ряда.

11. Пользуясь табличными разложениями функций в ряд Фурье, найти сумму числового ряда .