Вариант 5

1. Пользуясь определением, найти сумму ряда

Вычислить частичные суммы ряда для .

2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

а) , б) ,

в) .

3. Найти область сходимости ряда . Вычислить с точностью сумму ряда в точках , где – радиус сходимости ряда.

4. Разложить функцию в ряд Маклорена. Определить область сходимости ряда.

5. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням и найти область сходимости полученного ряда.

6. Найти круг сходимости ряда .

7. Исследовать на непрерывность функцию , .

8. Представить в виде степенного ряда решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям . Найти четыре члена ряда.

9. Используя ряды, вычислить приближенно значение интеграла с точностью . Указать число членов ряда, взятых в частичную сумму для достижения нужной точности на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

1 0. Разложить в ряд Фурье:

a) периодическую функцию с периодом (рис. 5),

б) функцию заданную на промежутке , продолжая её четным или нечетным образом на . Построить график суммы полученного ряда.

11. Пользуясь табличными разложениями функций в ряд Фурье, найти сумму числового ряда .

Вариант 6

1. Пользуясь определением, найти сумму ряда

Вычислить частичные суммы ряда для .

2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

а) , б) ,

в) .

3. Найти область сходимости ряда . Вычислить с точностью сумму ряда в точках , где – радиус сходимости ряда.

4. Разложить функцию в ряд Маклорена. Определить область сходимости ряда.

5. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням и найти область сходимости полученного ряда.

6. Найти круг сходимости ряда .

7. Пользуясь определением, доказать, что ряд равномерно сходится на промежутке .

8. Представить в виде степенного ряда решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Найти пять членов ряда.

9. Используя ряды, вычислить приближенное значение интеграла с точностью . Указать число членов ряда, взятых в частичную сумму для достижения нужной точности на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

1 0. Разложить в ряд Фурье:

a) периодическую функцию с периодом (рис. 6),

б

Рис.6

) функцию , заданную на промежутке , продолжая её четным или нечетным образом на промежуток . Построить график суммы полученного ряда.

11. Пользуясь табличными разложениями функций в ряд Фурье, найти сумму числового ряда .

Вариант 7

1. Пользуясь определением, найти сумму ряда

Вычислить частичные суммы ряда для .

2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

а) , б) ,

в) .

3. Найти область сходимости ряда . Вычислить с точностью сумму ряда в точках , где – радиус сходимости ряда.

4. Разложить функцию в ряд Маклорена. Определить область сходимости ряда.

5. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням и найти область сходимости полученного ряда.

6. Найти круг сходимости ряда .

7. Показать, что ряд сходится равномерно на положительной полуоси.

8. Представить в виде степенного ряда решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Найти три члена ряда.

9. Используя ряды, вычислить приближенно значение интеграла с точностью . Указать число членов ряда, взятых в частичную сумму для достижения нужной точности на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

10. Разложить в ряд Фурье:

a ) периодическую функцию с периодом (рис. 7),

б) функцию , заданную на промежутке , продолжая её четным или нечетным образом на промежуток . Построить график суммы полученного ряда.

11. Пользуясь табличными разложениями функций в ряд Фурье, найти сумму числового ряда .