Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Отвкты на ГОСЫ.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2025

Размер:

4.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 435 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

8. Ду, допускающие понижение порядка.

1. Исходное ДУ не содержит функцию, ее производных до (к-1) порядка т. е. ур-е имеет вид:

F(x,y⁽^k⁾,y⁽^k⁺¹⁾,…y⁽ⁿ⁾)=0 (1)

Порядок ур-я может быть снижен до (n-k)порядка заменой y⁽^k⁾(x)=p(x)  y⁽^k⁺¹⁾(x)=p’(x), y⁽^k⁺²⁾(x)=p’’(x)…y⁽ⁿ⁾(x)=p⁽ⁿ^-^k⁾(x) 

F(x,p(x),…p⁽ⁿ^-^k⁾(x))=0 (2)

Интегрируя (2)  p(x)=p(x,c,…c_n_-_k) Ф-я у после этого находится путём к-ого интегрирования, т. е. y₁⁽^k⁾(x)=p(x, c₁,…,c_n_-_k).

2. Исходное ур-е не содержит переменной x

F(y,y’,…,y⁽ⁿ⁾(x))=0 (3)

В этом случае порядок может быть снижен на 1 подстановкой: y’(x)=p(y), т. е. p рассматривается как новая неизвестная ф-я от y, т. е. p=p(y)  y’(x)=p(y)  высшие производные будут вычислены по формулам:

y”=(y’)’=(p(y))’=p’y’=pp’  исходное ур-е примет вид F(y,p,p’,…p⁽ⁿ^-1)(y))=0 – порядок ниже на 1.

3. F(x,y,y’,…,y⁽ⁿ⁾(x))=0 и левая часть этого ур-я представляет собой произведение некоторого диф. выражения (n-1) порядка, т. е. (x,y,y’,…,y⁽ⁿ^-1)(x))=0. В этом случае находится так называемый первый интеграл, т. е. ДУ (n-1) порядка с 1 производной постоянной эквивалентен исходному ур-ю n-го порядка. Этим понижается порядок исходного ур-я на 1.

4. Рассмотрим частный случай ур-я n-го порядка с переменными коэффициентами, именуемые уравнением Эйлера имеет вид:

x⁽ⁿ⁾y_n⁽ⁿ⁾(x)+x⁽ⁿ^-1)y_n_-1⁽ⁿ^-1)(x)+…+xy₁(x)+a₀y(x)=0, a₀=const0 (4) Заметим, что порядок х соответствует порядку производной y(x). Решение (4) может быть получено введением новой переменной x=e^t  dx=e^tdt (5)

(6)

Аналогично могут быть выражены и следующие производные по x. Подставляя (5), (6) в (4) и преобразуя его, сведём (4) с переменными коэффициентами к ДУ с постоянными коэф-ми, методы решения которые нам известны.

5. F(x,y,y’,…,y⁽ⁿ⁾(x))=0 (7)

Пусть (7) однородно относительно аргумента y,y’,…,y⁽ⁿ⁾ т. е. однородно относительно i-ой производной 

F(x,ky,ky’,…,ky⁽ⁿ⁾(x))=k^pF(x,y,y’,…,y⁽ⁿ⁾(x)) (8) (8) является однородным p-го порядка (измерения). Порядок такого ур-я может быть понижен на 1 подстановкой

(9) где z(x) – новая неизвестная ф-я. При такой замене:

y’=z y’’=(z²+z') (10) Подставим (10) в (7) и замечаем в силу однородности (7), что множитель можно вынести за знак ф-ии F и получим

F(x,z,z’,…,z⁽ⁿ^-1)(x))=0.

9. Ду не разрешенные относ-но производной. Ур-я Лагранжа и Клеро.

Диф-е ур-я первого порядка неразрешимые относ-но производной имеют вид

(1)

Если уравнение (1) удается разрешить относительно производной , то получим одно или несколько ур-й Интегрируем эти разрешимые относительно производной ур-я. Найдем реш-е исходного ур-я (1). Однако не всегда удается разрешать ур-е (1) относительно производной . Кроме того и полученные ур-я не всегда удается проинтегрировать.

Рассм. нек. приемы инт-я ур-я типа (1)

Причем известно, что сущ. по крайней мере один действ. корень этого ур-я.

Т.к. ур-е (2) не содержит и , то - вел-на постоянная, тогда интегрируя получим

Но - явл. корнем исх. ур-я (2). Сл-но явл-ся инт-лом исх. ур-я.

Пр.

Если ур-е (3) трудно разрешить относ. , то целесообразно ввести параметр и заменить ур-е (3) двумя ур-ями

Если ур-е (3) разреш. относ. , то почти всегда следует ввести параметр

, тогда

Замена

Т.к. , то

Если ур-е (4) легко разрешить относ , то обычно удобно в качестве параметра взять

Рассм. общий случай

(1)

Замена (2)

Воспользовавшись

(3)

Откуда разрешая последн. соотн-е относ. производной:

(4)

В рез. получ. ур-е 1-го порядка уже разрешенное относ. производной.

Если ур-е (1) легко разрешить относ. , то за параметры и следует брать .Действ-но, если ур-е (1) возможно свести к ур-ю (5), то взяв в кач. параметров будем иметь