35.Многочлены над полями q,r,с. Основная tr алгебры.

Мн-н называется не приводимым над полем Р, если не может быть представлен в виде произведения двух других мн-нов с коэф-ми из поля Р, степени которых меньше степени данного мн-на.

Мн-н нулевой степени (const) не причисляется ни к приводимым, ни к не приводимым.

Над полем С не приводимы только мн-ны первой степени. Всякий мн-н м/б разложен на лин-ые множители, т.е. всякий мн-н в виде: a₀xⁿ+ a₁x^n-1+…

Над полем R не приводимы только мн-ны 1-ой степени и мн-ны 2-ой степени, не имеющие действит.корней.

Над полем Q существуют не приводимые мн-ны различных степеней.

Пример: xⁿ+2, nєN.

Непроводимость мн-на над Q опр-ся по критерию Эйзенштейна: Если для мн-на n>0 с целыми коэф-ми существует простое число p: старший коэф-т , все остальные коэф-ты , а свободный член , i=1,n. То этот мн-н – не приводим над полем Q.

Пример: 1) x⁴+1 – над Q. 2) x⁴+1= - над R. 3) - над С.

Если степень мн-на > 0 => не разрешимые в радикалах.

Нахождение рацион. Корней мн-на (TR-мы справедливы для мн-нов с целыми коэф-ми):

1)TR1: Если несократимая дробь вида явл-ся корнем мн-на .

2) TR2: Если несократимая дробь вида явл-ся корнем мн-на

3)Следствие из TR2: .

TR1(Основная TR-ма алгебры): Всякий мн-н, степени n>=1 с комплексными коэф-ми, имеет хотя бы 1 корень, в общем случае – комплексный.

TR2: Всякий мн-н, степени n>=1 с комплексными коэф-ми, имеет n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

TR3:Всякий мн-н f(x) с действительными коэф-ми, имеет комплексный корень а, то и число также явл-ся его корнем, где кратность а и совпадают.

TR4:Всякий мн-н f(x) с действительными коэф-ми !-ым образом можна представить в виде произведения нескольких множителей вида (x-a), соответ-щих его действ-ым корням, и квадрат-ых 3-членов , соотв-щих его компл-ым корням. При действ-ых значениях а переменной х все указанные множители будут действительными.

36. Непрерывность функции одной переменной. Свойства непрерывных функций. Понятие точек разрыва и их классификация.

Пусть f:E R, a -точка области определения.

Определение (непрерывность функции в точке). Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если

 U(f(a))  U(a) (f(U(a)) U(f(a))).

Определение (непрерывность функции по Коши). Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если  > 0 ()>0:  x удовлетворяющих условию |x-a|< , выполнено неравенство |f(x)-f(a)|< 

Замечание. Если a – изолированная точка множества E, то есть точка, что в некоторой окрестности этой точки нет других точек множества E, кроме точки a, то U(a) = a. Следовательно, f(U(a)) = f(a) U(f(a)),  U(f(a)). Таким образом, в любой изолированной точке функция непрерывна. Поэтому содержательная часть понятия непрерывности относится к случаю, когда a- предельная точка множества E.

Из определения непрерывной функции следует, что

f:E R непрерывна в a E, где a- предельная точка E  lim_{x a}f(x) = f(a)

Последнее равенство можно переписать в следующей форме

lim_{x a}f(x) = f(lim_{x a}x),

которое говорит о том, что непрерывные в точке функции перестановочны с операцией предельного перехода.

Приведем еще одно определение непрерывной функции.

Определение (непрерывность "на языке приращений"). Функция называется непрерывной в точке a, если выполнено условие

lim_{ x 0} y = 0,

где  y = f(a+ x)-f(a).

Пример 20. Функция f(x) = sin x непрерывна на R. Действительно,

|sin x-sin a| = 2|cos((x+a)/2)sin ((x-a)/2)| 2|sin((x-a)/2)|  |x-a|/2 = |x-a|<,

как только |x-a|<.

Пример 21. Любая последовательность f:N R есть функция, непрерывная на множестве N, так как каждая точка множества N является его изолированной точкой.