70. Тригонометрический ряд фурье
Опр.1 Ряд вида
(1)
называется тригонометрическим рядом.
Его частичные суммы являются линейными комбинациями функций, входящих в систему
cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, …, cos nx, sin nx, … . (2)
Опр.2 Множество функций (2) называется тригонометрической системой.
Лемма 1. Тригонометрическая система (2) обладает свойствами:
ортогональность, т.е. интеграл по отрезку [-π, π] от произведения двух различных функций, входящих в нее, равен нулю
(3)
2) 
(4)
Теорема
1. Пусть
(5)
и ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится равномерно на отрезке [-π, π]. Тогда
,
,
n=1,2,
… . (6)
Опр.3 Пусть функция f абсолютно интегрируема на отрезке [-π, π]. Тригонометрический ряд (1), коэффициенты которого задаются формулами (6), называется тригонометрическим рядом Фурье, а числа an и bn – коэффициентами Фурье функции f.
Теорему 1 в этих терминах можно перефразировать следующим образом:
всякий равномерно сходящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы.
Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье единственно.
71.Формула Тейлора функции одной действительной переменной и ее остаточный член в разных формах. Ряд тейлора. Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.
Предположим, что
функция
имеет все производные до
-го
порядка включительно в некотором
промежутке, содержащем точку
.Найдем
многочлен
степени не выше
,
значение которого в точке
равняется значению функции
в этой точке, а значения его производных
до
-го
порядка в точке
равняются
значениям соответствующих производных
от функции
в этой точке:
.
Будем искать этот
многочлен в форме многочлена по степеням
с неопределенными коэффициентами:
.
(*)
Далее находим
производные от
.
Подставляя в левые и правые части этих
производных вместо
значение
и заменяя
через
,
через
и т.д., получим
.
Откуда находим
неизвестные коэффициенты
,и
подставляя их в формулу (*), получим
искомый многочлен
.
Обозначим через
разность значений данной функции
и построенного многочлена
:
,
откуда
,
или в развернутом виде
.
Таким образом мы получили формулу Тейлора функции одной действительной переменной. называется остаточным членом.
Формы остаточного члена.
1.Форма
Лагранжа:
,
(точка
заключена между
и
,
).
2.Форма
Коши:
,
.
3.Форма
Пеано:
.
Ряд Тейлора
Пусть функция имеет производные любого порядка в окрестности точки . Для такой функции можно составить ряд:
.
Независимо от
того, сх-ся или расходится этот ряд, он
называется рядом Тейлора функции
по степеням
.
Если
,
то соотч\ветствующий ряд называют рядом
Маклорена.
Теорема1. Если
функция
имеет на отрезке
производные любого порядка и остаточный
член стремится к 0 при
на этом отрезке, то разлагается в сходящийся к ней ряд Тейлора на этом отрезке.
Теорема2.
Если функция
имеет на отрезке
производные любого порядка, ограниченные
одним и тем же числом
,
то остат-ный член на этом отрезке
стремится при
к 0.
Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.
1.
Эта функция
бесконечно дифферкнцируема на
.
При этом
.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид
,
,
где
может
быть положительным и отрицательным. На
отрезке
,
.
Это показывает,
что функция
разлагается на
в сходящитйся к ней ряд Тейлора по
степеням
(ряд Маклорена):
.
Но произвольное число, поэтому это равенство имеет место на всей действительной оси.
2.
Данная функция имеет производную любого порядка и
.
Поэтому по теореме2
функция
разлагается в сходящийся к ней на
ряд Тейлора по степеням
:
.
3.
Совершенно аналогично можно получить, что
.
4.
Эта функция
определена и сколько угодно раз
дифференцируема для
.
Поэтому для нее формулу Тейлора можно
написать для любого
при
.
Так как
,
то формула Тейлора имеет вид
.
Используя
формулы лагранжа и Коши остаточного
члена можно показать, что
.
Поэтому функция
разлагается в указанном промежутке в
ряд Тейлора по степеням
:
.
5.
Для этой функции
,
.
Формула Тейлора по степеням имеет вид
.
Можно
доказать, что при любом
:
.
Поэтому для любого действительного
имеет место разложение функции
в ряд Тейлора по степеням
:
.