6.Группы, кольца, поля (определения и примеры)

Группа – непустое множество G, на котором задана бинарная операция *, которая удовлетворяет следующим условиям:

1.ассоциативность:  a, b, c G (a*b)*c=a*(b*c);

2.существование единственного нейтрального элемента e: aG a*e=e*a=a;

3.существование единственного симметричного элемента а': aG  ! a’G: a*a’=a’*a=e;

Если заданная операция – умножение (сложение), группа называется мультипликативной (аддитивной). Группа называется коммутативной (абелевой), если операция коммутативна, т.е.  a, b G a*b=b*а.

Примеры групп: (Z,+) – множество целых чисел относительно операции сложения, (2Z,+), (Z,*), (Q,+), (Q\{0},*), множество всех векторов плоскости относительно операции сложения.

Кольцо – множество К, на котором заданы операции сложения и умножения и выполняются следующие аксиомы:

1. a, b, c К (a+b)+c=a+(b+c);

2.aК  ! еК (е=0): a+0=0+a=а;

3.aК  ! (- а)К: a+(-a)=(-а)+a=0;

4. a, b К a+b=a+b;

5. a, b, c К (ab)c=a(bc);

6. a, b, c К (a+b)c=aс+bc), a(b+c)=ab+ac;

Кольцо является абелевой группой относительно операции сложения.

Примеры колец: Z, Q, R, С, .

Кольцо называется коммутативным, если  a, b К ab=bа.

Кольцо называется кольцом с единицей, если  еК: aК еa=aе=а;

Кольцо без ненулевых делителей нуля называется областью целостности (a и b  К – делители нуля, если а0, b0, но ab=0).

Поле – коммутативная область целостности с единицей, в которой каждый ненулевой элемент обратим.

Примеры колец: Q, R., С.

7. Дискретные св. Числовые х-ки и их св-ва.

Если пр-во элементарных событий конечно или счетно, то СВ можно задать перечислив все ее возможные знач-я. Такую СВ наз. дискретной. З-н распр-я – известны всевозможные знач-я СВ и соотв. им вер-ти. Осн. св-во дискр. з-на распр-я ,

Числовые х-ки – это параметры, характеризующие ожидаемое истинное значение СВ (мера случайной тенденции или мера положения) и разброс значений СВ относит. центра (мера масштаба или сдвига).

Параметрами, х-ющими меру положения, явл-ся мат. ожидание , мода , медиана .

Мат ожиданием явл-ся абстрактный аналог истинного знач-я .

- дискретная: - возможные принимаемые знач-я; - их вероятности.

- непрерывная , - плотность распр-я вер-ти.

Св-ва: 1) _, 2) : _, 3)

4) - независимые СВ, то

Геом. и физ. смысл :абсцисса центра тяжести криволинейной трапеции, ограниченной графиком пл-ти. Модой наз-ся наиболее вероятностное значение СВ (для дискр. СВ). Медиана – знач-е СВ, для кот вып-ся.

Дисперсия х-ет меру разброса СВ относ. среднего:

- дискретная: ,

- непрерывная

Св-ва: 1) :

2) :

3) - независимые СВ,

4) - независимые,

- показатель степени связности и , наз. ковариацией . Если - независимые, то

- среднее квадратич. отклонение. и - два основных параметра, кот полностью х-ют нормальный з-н распределения.

Нач-ным моментом -го порядка наз-ся вел-на вида . МО – нач. момент 1-го порядка. Центральным моментом -го порядка наз-ся вел-на вида . Дисперсия – центральный момент 2-го порядка. Центр. момент 3-го порядка – асимметрия (симметрия относ. Ох). Центр. момент 4-го порядка – эксцесс (симметрия относ Оу).