48. Поле комплексных чисел. Различные формы записи комплексных чисел. Формула муавра.

Понятие комплексного числа.

Опр: Комплексным числом – наз. упорядоченная пара действительных чисел z = (a,b).Число а – действительная часть Re(z). Число b – мнимая часть Im(z).

Суммой 2-х комплексных чисел z₁(a₁,b₁) и z₂(a₂,b₂) есть комплексное число z =z₁+z₂= (a₁+a₂,b₁+b₂).

Разностью 2-х комплексных чисел z₁(a₁,b₁) и z₂(a₂,b₂) есть комплексное число z =z₁–z₂=

(a₁– a₂,b₁– b₂).

Произведением комплексного числа z₁ и числа α есть комплексное число z = α*z₁ = (α*a, α*b).

Произведением 2-х комплексных чисел z₁(a₁,b₁) и z₂(a₂,b₂) есть комплексное число z =z₁*z₂= (a₁*a₂ – b₁*b₂, a₁*b₂ +b₁*a₂).

Свойства операций.

1. Дистрибутивность: (z₁  z₂)*z₃=z₁*z₃  z₂*z₃.

2. Коммутативность произведения: z₁*z₂ = z₂*z₁.

3. Ассоциативность (z₁*z₂)*z₃=z₁*(z₃*z₂).

4. (1,0)* z = z.

5. (0,0) + z = z.

6. (0,0)* z = 0.

Рассмотрим комплексное число (a,0) каждому такому числу соответствует одно действительное число a. И выполняется:

1. (a,0)+(b,0)=(a+b,0);

2. (a,0)*(b,0)=(a*b,0).

Число вида (0,1) наз. мнимой единицей ( і ).

Всякое комплексное число z = (a,b) можно представить как z = (a,0)+(0,b)=a+b*(0,1)=

=a+ib  алгебраическая форма записи комплексного числа.

z =a–ib  число сопряженное комплексному числу z =(a,b)=a+ib.

Комплексное число z =a+ib. удобно изображать точкой плоскости в декартовой системе координат.

У гол на который необходимо повернуть вокруг центра координат вектор длиной ( ), расположенном в исходном положении, вдоль оси X и имеющий начало в центре координат, чтобы конец вектора оказался в точке (a,b) – наз. аргументом комплексного числа Arg (z).

Arg (z) = φ, φ2π, φ4π,…

φ = arctg(b/a); zI II или φ = arctg(b/a)π; zI IV.

Arg (z) определяется не однозначно, а именно с точностью до слагаемого кратного 2π.

Среди ∞ мн.-ва значений Arg (z) есть одно (которое обозначаем аrg (z)) главное значение –πаrg (z)π.

Arg (z) и аrg (z) связаны соотношением:

Arg (z)= аrg (z)+2πk, k.

Пусть φ одно из возможных значений аргумента комплексного числа. Тогда:

Re(z) =a=|z|cosφ;

Im(z)=b=|z|sinφ.

z=|z|(cosφ+isinφ)  тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Алгебраические действия над комплексными числами.

(i)²= –1;

z₁=a+ib;z₂=c+id.

1. z₁+z₂=(a+c)+i(b+c);

2. z₁–z₂=(a-c)+i(b-d);

3. z₁*z₂=(a+ib)(c+id)=ac+ibd+iad+i²db=(ac–db)+i(ad+bc);

4. z₁/z₂=((a+ib)/(c+id))*(c–id)= ((a+ib)*(c–id))/(c²–(id)²) = ((ac+db)+i(ad–bc))/(c²+d²) =

(ca+bd)/(c²+d²)+i(ad-bc)/ (c²+d²).

Произведение числа в тригонометрическом виде:

|z₁|=r; |z₂|=t;

z₁=|z₁|(cosφ+isinφ);

z₂=|z₂|(cosψ+isinψ).

1. z₁*z₂= |z₁||z₂|(cosψ+isinψ)(cosφ+isinφ)=rt(cosφcosψ+icosφsinψ+isinφcosψ-sinφsinψ) = rt(cos(φ+ψ)+isin(φ+ψ)).

2. z₁/z₂=|z₁|/|z₂|(cosψ+isinψ)/(cosφ+isinφ)=r/t(cosψ+isinψ)(cosφ–isinφ)/((cosφ+isinφ)(cosφ–isinφ))= rt(cos(φ–ψ)+isin(φ–ψ)).

Степень:

zⁿ=rⁿ(cosnφ+isinnφ)  формула Муавра.

Извлечение корня:

z=r(cosφ+isinφ).

Под корнем n-й степени из числа z будем понимать любое комплексное число ρ(cosδ+isinδ) которое в n-й степени даст число z.

Преобразуем последнее неравенство с помощью формулы Муавра.

ρⁿ(cosnδ+isinnδ)= r(cosφ+isinφ).

ρⁿ=r; nδ=φ+2πk, k.

ρ= ; δ=(φ+2πk)/n.

= (cos((φ+2πk)/n)+isin((φ+2πk)/n)).

49. Поняття інкапсуляції в мові програмування C++. Методи які організують інтерфейсі. Наведете приклади визначення відкритих і закритих полів і методів класу.

Инкапсуля́ция — свойство языка программирования, позволяющее объединить и защитить данные и код в объект и скрыть реализацию объекта от пользователя (прикладного программиста). При этом пользователю предоставляется только спецификация (интерфейс) объекта.

• Пользователь может взаимодействовать с объектом только через этот интерфейс. Реализуется с помощью ключевого слова: public.

• Пользователь не может использовать закрытые данные и методы. Реализуется с помощью ключевых слов: private, protected, internal.

Сокрытие данных — неотделимая часть ООП, управляющая областями видимости. Является логическим продолжением инкапсуляции. Целью сокрытия является невозможность для пользователя узнать или испортить внутреннее состояние объекта.

Инкапсуляция — один из четырёх важнейших механизмов объектно-ориентированного программирования (наряду с абстракцией, полиморфизмом и наследованием).

Суть инкапсуляции заключается в том, что вы должны предоставить пользователю объекта, только необходимые ему функции, а все лишние (внутренние члены) понадежнее спрятать, чтобы не дай Бог неопытный кодер их ненароком не изменил.

Пример (Класс А инкапсулирует свойства Aa, Ab и метод DoSomething, представляя внешний интерфейс ReturnSomething, a, b)

class A

{

public:

int a, b; //данные открытого интерфейса

int ReturnSomething(); //метод открытого интерфейса

private:

int Aa = a, Ab = b; //скрытые данные и использование ими интерфейса

void DoSomething(); //скрытый метод

};

Можно заметить, что интерфейс, фактически — это просто чистый абстрактный класс, то есть класс, в котором не определено ничего, кроме абстрактных методов. Если язык программирования поддерживает множественное наследование и абстрактные методы (как, например, C++), то необходимости во введении отдельного понятия «интерфейс» не возникает. Аналогичные сущности описываются в виде абстрактных классов и наследуются классами для реализации абстрактных методов.

Однако поддержка множественного наследования в полном объёме достаточно сложна и вызывает множество проблем, как на уровне реализации языка, так и на уровне архитектуры приложений. Введение понятия интерфейсов является компромиссом, позволяющим получить многие преимущества множественного наследования, не реализуя его в полном объёме и не сталкиваясь, таким образом, с большинством вызванных им трудностей.

В C++ интерфейсов, строго говоря, нет вообще. Механизм, аналогичный интерфейсам (и, исторически предшествующий им) реализуется другими средствами чрезвычайно мощной объектной подсистемы этого языка.

C++ поддерживает множественное наследование и абстрактные классы, поэтому, как уже упоминалось выше, отдельная синтаксическая конструкция для интерфейсов в этом языке не нужна. Интерфейсы заменяют абстрактные классы, а реализация интерфейса производится путём наследования этих классов.

Пример определения интерфейса:

/**

* interface.Openable.hpp

*

*/

#ifndef INTERFACE_OPENABLE_HPP

#define INTERFACE_OPENABLE_HPP

// Класс интерфейса iOpenable. Определяет возможность открытия/закрытия чего либо.

class iOpenable

{ public:

virtual ~iOpenable(){}

virtual void open()=0;

virtual void close()=0;};

#endif

Интерфейс реализуется через наследование. Благодаря наличию множественного наследования, ничто не мешает реализовать в одном классе несколько интерфейсов, если в этом есть необходимость.

Метод в объектно-ориентированном программировании — это функция, принадлежащая какому-то классу или объекту.

Как и процедура в процедурном программировании, метод состоит из некоторого количества операторов для выполнения какого-то действия, имеет набор входных аргументов и возвращаемое значение.