42.Основные типы ду 1-го порядка

ДУ – это ур-е, в кот-м неизв. ф-я или в-р ф-и входит под знаком производной или диф-ла.

Порядок ДУ – макс-й порядок входящей в ур-е производной (диф-ла) неизвестной ф-ии.

1. Ур-я 1-го порядка, разрешаемые относ-но производной.

Обыкн-е ДУ 1-го порядка можно, разрешить относ-но производной, представив в виде:

где с – const. Константа с м. б. определена, если известны знач-я y(x₀)=y₀.

2. Уравнения с разделенными и разделяющимися пер-ми.

Рассмотрим ДУ вида

Предполагаем, что f₂(у)0. преобразуем его к виду

Пологая y известной ф-ей от x, (2) можно рассматривать как рав-во 2-х диф-лов, тогда неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым С.

мы получили соотношение, связывающее искомую ф-ю у, независимую переменную х и произвольную постоянную С, т. е. получили общий интеграл (общ. решение) ур-я (2).

ДУ типа M(x)dx+N(y)dy=0 наз. ДУ с разделенными переменными.

Его общее реш-е имеет вид: , а ур-е вида:

М₁(х)N₁(y)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0 – наз. ДУ с разделяющимися переменными, т. к. путем деления на М₂(х)N₁(y) оно приводится к ур-ю с разделенными переменными

3. Ур-я, приводимые к ур-ям с разделяющимися пер-ми.

Рассм ур-е вида (1), где - нек. константы.

Сделаем замену: , тогда .

Подставляя (3) и (2) в (1), получим или - ур-е с разделяющимися пер-ми.

Рассм ур-е вида , в этом случае

- ур-е с разделяющимися пер-ми.

4. Линейные ур-я 1-го порядка – ур-я, содержащие у и у^’ в первой степени, вида:

Если Q(x)0  такое ур-е наз-ся однородным его реш-е будет иметь вид:

К линейным ДУ могут быть сведены некоторые ДУ:

5. Уравнение Бернулли

y^’=P(x)y+Q(x)y^m , m0, m1

Пусть

Подставляя полученное выражение в ур-е Бернулли, получим:

Пришли к линейному ДУ относительно z.

6. Уравнение Рикатти:

y^’=P(x)y+Q(x)y²+f(x)

В общем виде это ур-е не интегр-ся, но оно может быть сведено заменой пер-х к ур-ю Бернулли, если известно какое-то частное реш-е y₁(x) этого ур-я. Вводя новую ф-ю z(x) пологая y=z+y₁ и подставляя последнее в данное ур-е, получим:

z’+y₁’=P(x)(z+y₁)+Q(x)z²+2Q(x)zy₁+Q(x)y₁²+f(x)

т. к. y₁–решение исходного ур-я  y₁’=P(x)y₁+Q(x)y₁²+f(x)

Подчеркнутые члены взаимно уничтожаются и для отыскания z, получим:

z’=(P(x)+2Q(x)y₁)z+Q(x)z², т. е. пришли к ур-ю Бернулли.

7. Уравнения в полных дифференциалах:

– полный дифференциал.

ДУ 1-го порядка вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) наз. ур-ем в полных диф-лах, если его левая часть явл-ся полным диф-лом нек-й ф-ии U(x,y), т. е.

P(x,y)= Q(x,y)= .

Для того, чтобы (1) являлось ур-ем в полных диф-лах необх. и достаточно, чтобы выполнялось след. усл-е:

– условие Эйлера; = =

Если (1)явл-ся. ур-ем в полных диф-лах  оно м. б. переписано в виде

dU=0 (2). Общий интеграл (2) имеет вид U(x,y)=C (3), где С – некоторая постоянная. Ф-я U может быть найдена след. образом: по условию имеем =P(x,y). Проинтегрируем это выражение по х

(4). Для отыскания воспользуемся вторым соотношением из условия . Подставим в (4)  приходим к ур-ю для отыскания : . Интегрируем,  находим подставляя которую в (4), а (4) в (3) закончим процесс построения решения.