33.Методы комбинаторного анализа и их применение для реш-я задач.

Комбинаторный анализ зан-ся решением задач пересчета (ск-ко сущ. объектов, обладающих заданным св-вом) и задач перечисления (ск-ко и какие эл-ты обладают заданным св-вом).

1. Правило суммы. Если объект А м. б. выбран m СП-бами, а объект В др. n сп-бами, то выбор либо А, либо В можно осущ. сп-бами

, тогда когда ,

2. Правило произведения. Если объект А м. б. выбран m СП-бами, и после каждого из таких выборов объект В м.б. выбран n сп-бами, то выбор А и В можно осущ. сп-бами

Перестановка – конечное упорядоченное мн-во, содержащее различных эл-тов, кот. можно получить из заданного неупорядоченного мн-ва, сост. из эл-тов.

выборка – набор эл-тов вида из мн-ва , наз. выборкой объема из эл-тов.

Размещение – упорядоченная выборка ( ) (сколькими СП-бами из предметов можно выбрать и разместить на различных мест)

Сочетание – неупорядоченная выборка ( ) (сколькими СП-бами из предметов можно выбрать )

Методы комбинаторного анализа.

1)Элементарные рекуррентные соотн-я.

- рекуррентное ур-е

Для реш-я общего вида рекуррентных соотн-й общих правил не сущ., но наиболее часто встречающийся случай имеет общий алгоритм реш-я.

(*)

Правило реш-я рекуррентного ур-я.

Шаг1. Сост. х-кое ур-е (с теми же коэф, что и рекурент. ур-е)

Шаг2. Если корни х-кого ур-я не кратны, то общее реш-е ур-я имеет вид:

, где и - нек. числа.

2)Метод производящих ф-й – неэлементарный.

- перечисляющая производящая ф-я сочетаний из различных объектов или -нумератор.

Обычной производящей ф-ей для посл-ти наз сумма вида

Реш-е лин. рекуррентных ур-й с пом. производящих ф-й.

1. Умножить каждое лин. -тое соотн-е на

2. Полученные ур-я сложить.

3)Метод включения и исключения.

Явл. обобщением правила суммы в случае, если

С пом. так. метода решаются возможности разделения мн-в на подмн-ва в зависимости от обладания их эл-тами нек. св-ми

34. Метрические пространства

Если на произв. мн-ве Х задана ф-ция : Х Х R и удовлетв. след . аксиомам

1.

2.

3. (нер-во треугольника)

то эта ф-ция наз-ся метрикой, а - метрич. пр-вом.

Примеры метрич. пр-в

1)

2) Х-произв. мн-во

- дискретн. метрика

1.

2. =

3. а)

б)

в)

г)

3)

1.

- очевидно

2. -очевидно

3. Цель: док-ть, что +

вспомогат. нер-во Коши-Буняковского

►

При преобразовании получается нер-во Коши-Буняковского, модуль в левой части ставить не обязательно.

л.ч. = =п.ч.

4)

5)

6)

- пр-во последоват-тей (вещественных или комплекснозначных), сумма квадратов эл-тов кот. образует сх-ся ряд

7) ,

8)

9) c[a;b] -простр-во непр-ных на [a;b] ф-ций, в кот. расст. зад-ся по ф-ле

10)

Сходимость

сходится, если , для кот. ,

сходится, если :

сходится, если ,

Св-ва сходящихся посл-тей

1. Предел последовательности единственный

2. Любая подпосл-ть посл-ти сходится

Принцип сжимающих отображений

наз-ся сжимающим (сжатием), если

- неподвижная точка отображения

Th Сжимающее отображение А, переводящее полное метрическое пр-во в себя имеет единственную неподвижную точку.

*Метрич. пр-во наз-ся полным, если каждая фундаментальная посл-ть в нем сх-ся.

1. Применение ПСО к док-ву теоремы Пикара

(1)

(2)

1) F – опр. непр.в плоской обл-ти G:

2) удовлетворяет усл. Липшеца по перемен. y

! решение (1) с н.у. (2)на нек. сегменте

Отображение А имеет ед. неподв. точку, кот явл-ся решением (1) при н.у. (2).

2. Применение ПСО к инт. уравнениям Фредгольм

K(x,t) – ядро, f(x), - параметр – известны

1. f(x) – непр. на [a,b]

2. K(x,t) непр. на

условие существования и единственности решения инт. ур-я Фредгольма 1 рода методом посл. приближений, K<=M