31.Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.

Пусть V и W два различных линейных пространства над полем комплексных чисел . A:VW , которое ставит в соответствие каждому вектору x пространства V некоторый вектор y пространства W будем называть оператором A, действующим из V в W.

Пример: 1.Для фиксированного числа  линейным оператором является отображение VV , пропорциональное тождественному и переводящее произвольный вектор xV в вектор x.

2.Отображение дифференцирования d будет оператором в пространстве P(R) всех вещественных многочленов.

Оператор А называется линейным, если выполняется два условия:

1.Свойство аддитивности А(х1+х2)=Ах1+Ах2. 2. А(х)=Ах.

Обозначим через L(V,W) множество всех линейных операторов, действующих из V в W.

Два линейных оператора А и В будем считать равными , если для любого xV Ax=Bx . Под суммой двух линейных операторов А и В принимают оператор А+В , такой что для любого xV : (А+В)х=Ах+Вх. Под произведением линейного оператора А на число , принимаем число А , такое что для любого xV (А)х=Ах.

Оператор  называется нулевым, если для любого xV х=0.

Свойства операций сложения и умножения лин. операторов:

1. *А*В)=(*А)*В=А*(*В). 2. А*(В+С)=А*В+А*С.

4. (А+В)*С=А*С+В*С. 4.(А*В)*С=А*(В*С)=В*(А*С).

Ядром лин.оператора А L(V,W) называется такое множество KerA векторов пространства V ,что  х KerA А*х=0.

Образом оператора А называется множество ImA всех векторов пространства V, каждый из которых имеет преобразование ,то есть если у ImA, то  хV, у=А*х.

Размерность подпространства ядра KerA наз. деффектом оператора А dim(KerA)=defA.

Размерность подпространства образованного оператором ImA наз. рангом оператора Dim(ImA)=rangA.

Число  называется собственным значением (числом )

лин.оператора А  L(V,W), если в пространстве V можно найти такой ненулевой вектор х, что :

А*х=*х, х0 (1).

Любой ненулевой вектор, удовлетворяющий этому равенству называется собственным вектором оператора А.

Равенство (1) можно записать в виде:

(А-)х=0, где -тождественный оператор. Так как х, то ясно,что dim(KerA) 1.

Пусть n - размерность пространства V. Известно, что dim(Ker(А-))+ dim(Im(А-))= n

 rang(А-)<=n-1, но тогда det (А-)=0.

Таким образом, если  является собственным значением оператора А , то  является корнем характеристического уравнения det(А-)=0.

Теорема: Для того, чтобы комплексное число  было собственным значением лин.оператора А необходимо и достаточно,чтобы это число являлось корнем характеристического уравнения det (А-)=0.

32.Матрицы. Операци над матрицами. Определители, миноры, алгебраические дополнения.

Понятие матрица.

Опр: Матрица это таблица состоящая из n-мерных строк записанных одна под одной.

А= где числа a_ij (i=1,2,…,n; j=1,2,…,m)­ – элементы матрицы.

Матрица А имеет m–строк и n–столбцов (mXn).

Опр: Матрица все элементы которой равняются нулю наз. нулевой.

Опр: Матрица (mXm) наз. квадратной матрицей порядка m.

Опр: Матрица вида: Е= наз. единичной.

Опр: Матрица наз. ступенчатой если:

1. Если какая-либо строка матрицы нулевая, то все строки находящиеся под ней тоже нулевые.

2. Если первые не нулевые элементы строк i и i+1 (т.е. двух любых соседних строк) находятся в столбцах k_i и k_i+1, то k_i<k_i+1.

Элементарные преобразования строк матриц.

1. Поменять местами две строки матрицы.

2. Прибавить к любой строке матрицы любую другую строку умноженную на произвольное число.

Теорема№1: Любую матрицу можно привести к ступенчатому виду за конечное число элементарных преобразований строк матрицы.

Теорема№2: Если от матрицы А к матрице В можно перейти за конечное число элементарных преобразований строк, то и от матрицы В к матрице А можно перейти за конечное число элементарных преобразований строк.

Сложение матриц и умножение матрицы на число.

Опр: Суммой А+В двух квадратных матриц А=(a_ij) и В=(b_ij) порядка n наз. матрицу С того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В т.е. с_ij=а_ij+b_ij.

Свойства операций.

1. Коммутативность сложения: А+В=В+А.

2. Ассоциативность сложения: (А+В)+С=(С+А)+В.

3. А+Θ=А; Θ–нулевая матрица.

4. Дистрибутивность: (А+В)*С=А*С+В*С; А*(В+С)=А*В+А*С.

Опр: Произведением числа α на матрицу А наз. матрицу элементы которой получаются соответственным умножением числа α на элементы матрицы А α*А=α* а_ij.

Свойства операций.

1. α*(А+В)= α*А+ α*В. 2. α*(β*А)=β* (α*А)= (α*β)*А. 3.(α+β)*А= α*А+ β*А.

Умножение матриц.

Опр: Произведением 2-х матриц А и В порядка n наз. матрицу С того же порядка, элементы которой с_ij вычисляются по формуле: с_ik=

Свойства операций.

1. Коммутативность умножения не выполняется: А*ВВ*А.

2. Ассоциативность умножения: (А*В)*С=А*(В*С).

Пусть дана квадратная матрица n–го порядка, членом определителя соответствующей этой матрице назовем произведение n элементов матрицы взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

Определителем n–го порядка соответствующий квадратной матрице А наз. число равное сумме всех членов определителя, причем в этой сумме член берется со знаком "+" если подстановка из его индексов является четной и со знаком "–" если нечетной.

Свойства определителя n–го порядка:

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя нулевая то определитель равен нулю.

3. Если определитель получен из другого перестановкой двух строк то определители отличаются знаком т.е. модули совпадают, а знаки противоположны.

4. Определитель содержащий две одинаковые строки равен нулю.

5. Если все элементы кокой либо строки определителя умножить на любое число k то и сам определитель умножится на k.

6. Определитель содержащий две пропорциональные строки равен нулю.

7. Если i-я строка определителя n-го порядка является суммой 2-х n мерных строк (a=b+c) то исходный определитель равен сумме 2-х определителей в которых на месте i-й строки стоят в одном определителе строка b, а в другом строка c, остальные строки одинаковы.

8. Если одна из строк определителя является линейной комбинацией других его строк то определитель равен нулю.

9. Определитель не меняется если к элементам какой либо строки добавить другую строку умноженную на произвольное число.

Опр: Минором k-го порядка определителя-d называют определитель k-го порядка который получается из определителя-d n-го порядка вычеркиванием n-k строк и n-k столбцов.

Пусть M - минор k-го порядка из определителя-d, порядок которого равен n. Дополнительным минором для минора М наз. минор , который получается вычеркиванием из определителя тех строк и столбцов, в которых расположены элементы минора М . Порядок равен n-k.

Опр: Алгебраическим дополнением минора М k-го порядка, элементы которого расположены в строках i₁,i₂,…,i_k и столбцах j₁,j₂,…,j_k определителя наз. дополнительный минор взятый со знаком (-1)^S, где S=( i₁+i₂+,…+i_k+j₁+j₂+…+j_k).

Теорема№1: Произведение любого минора определителя-d на его алгебраическое дополнение является алгебраической суммой слагаемых, которые получаются от умножения члена минора М на взятые со знаком (-1)^S члены дополнительного минора .

Теорема№2(о разложении определителя по элементам строки или столбца): Определитель d n-го порядка (n2) равен сумме произведений элементов кокой либо его строки или столбца на соответствующее алгебраическое дополнение: d=a_i1*A_i1+a_i2*A_i2+…+a_in*A_in (*) ; где: A_ij– алгебраическое дополнение a_ij.

Теорема№3(теорема Лапласа): Пусть в определителе d порядка n произвольно выбрано k строк (kn>1) тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка содержащихся в выбранных строках на их алгебраические дополнения равна определителю d.