27. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та методи їх розв’язування.

Лінійним ДР 1-го порядку називається рівняння виду:

y'+p(x)y=f(x) (1);

де f(x), f(x) – задані і непервні на деякому проміжку функції.

Термін «лінійне рівняння» пояснюється тим, невідома функція (y) і її похідна y' входять до рівняння в 1 степені, тобто лінійно.

Є кілька методів інтегрування рівняння (1). Один з них (метод Бернуллі) полягає в тому, що розвязок цього рівняння шукають у вигляді добутку:

y=v*u; де u=u(x), v=v(x) – невідомі функції (х), причому одна з цих цункцій довільна (але не рівна тотожно нулю).

Знаходячи похідну y'=u'v+v'u і підставляючи значення (y) та y' в рівняння (1), дістанемо:

u'v+u(v'+p(x)v)=f(x).

Користуючись довільністю у виборі функції v(x), доберемо її так, щоб

v'+p(x)v=0 (2) тоді u'v=f(x) (3)

Розвяжемо ці рівняння. Відокремлюючи в рівнянні (2) змінні та інтегруючи, знайдемо його загальний розвязок: dv/dx =-p(x)v; dv/v=-p(x)dx;

Візьмемо за v який-небудь часний ровзвязок рівняння (2), наприклад :

Знаючи функцію v, з рівняння (3) знаходимо функцію (u):

Підставляючи в y=u*v, знаходимо загальний розвязок рівняння.

28. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2го порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида: , p,q R (1)

Для нахождения общего интеграла уравнения (1) достаточно найти частное решение этого неоднородного уравнения и сложить его с общим решением соответствующего однородного уравнения.

Поскольку общий интеграл однородного уравнения известен, можем с помощью квадратур получить частное решение неоднородного уравнения, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.

Данный метод покажем в частном случае, когда уравнение (1) имеет вид: (2)

Общий интеграл однородного уравнения имеет вид:

О бщий интеграл неоднородного уравнения:

u

Ч астное решение неоднородного уравнения будем искать: (3)

y₁ y₂

В решении (3) v₁ и v₂ есть функции от переменной x. Имея не одну, а две искомые функции, мы можем кроме исходного уравнения подчинить их ещё одному условию. (4)

То мы имеем систему двух уравнений для отыскания функции v₁, v₂. Продифференцируем соотношение (3):

Учтём (4): (*)

Учитывая тот факт, что y₁ и y₂ есть решения однородного уравнения (2), т.е. соотношение [ ]=0, будем иметь условие:

Имеем систему для отыскания функции v₁, v₂:

Запишем первообразную функций в виде интегралов с переменным верхним пределом и обозначим переменную через . Тогда: , где x₀ – некоторое фиксированное число.

Подставим найденное значение f в решение (3), будем иметь:

.

Решение можно представить в виде, если ввести множители под знак интегрирования, то получим: .

Окончательное решение исходного неоднородного уравнения будет иметь вид:

(**)

Соотношением (**) определено общее решение исходного неоднородного уравнения (2), не содержащего первую производную.

При решении линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами во многих случаях удаётся без труда подобрать частное решение и тем самым свести решение задачи к отысканию решения соответствующего его однородного уравнения.