21. Классификация изолированных особых точек фкп. Интегральный вычет.

Особая точка – точка, в которой функция теряет аналитичность.

Различают ос. т. : однозначного характера (в её окрестности ф-я однолистна), многозначного (!неоднолистна) и неоднозначного (!точка ветвления).

Особенность наз. изолированной, если есть окрестность в которой эта точка единственна.

Пусть - особая точка. Если:

- устранимая особенность

- полюс

не существует – - существенно особая точка

Теорема (Римана об устранимой особенности): В устранимой особ. Точке функцию всегда можно доопределить до аналитической.

Теорема (Сохоцкого): - существенно особая точка, тогда = А

Кратность полюса – это кратность нуля обратной функции.

Если - существенно особая точка, тогда:

- если ряд Лорана не содержит отриц. степеней - - устранимая особенность;

- если содержит n отриц. степеней - - n-кратный полюс;

- если содержит бесконечно много отриц степ. - -существенн*ая особенность.

Пусть - особая точка функции f(z). Тогда - вычет функции относительно её особой точки.

Нахождение в общем виде:

- коэф. при -1-й степени в ряде Лорана.

Методы вычисления интегральных вычетов:

1. - устранимая особенность: .

2. - простой полюс: _;

3. - n-кратный полюс:

Продифферегцируем n раз:

4.

- простой полюс

5. - существенно особая точка:

Теорема (Коши о вычетах)№1:

Пусть f(z) – аналитична в , кроме конечного числа особых точек .

Т огда : . z1

zn

Док-во: вырежем особенности так, чтобы их окрестности не пересекались, то что осталось - , где - окрестность n-й точки. f(z) – аналитична в D1 вплоть до замыкания.

По интегральной теореме Коши:

Теорема доказана.

Рассмотрим точку . Если заключить её в окружность так чтобы все особые точки попали внутрь, а она была снаружи, то - вычет на бесконечности. Других методов вычисления вычета на бесконечности нет!!!

Теорема (Коши о вычетах)№2:

Пусть f(z) – аналитична в С, кроме конечного числа особых точек .

Тогда : .

Теория вычетов применяется к

1)вычислению вещественных интегралов по замкнутому контуру: , где

2)вычислению несобственных интегралов вида (непосредствеено применяется Теорема1 Коши о вычетах):

Также применяется к суммированию рядов и в гидродинамике.

22. Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность. Формула полной вероятности.Формула Байеса.

Эксперимент (опыт) – комплекс условий которые могут воспроизводится неограниченное число раз.

Пространством элементарных исходов (омега) наз-ся множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают (омега) с индексами или без.

Событиями называют подмножества множества , причем не обязательно все подмножества множества , а лишь множества из некоторого набора подмножеств. Говорят, что в результате эксперимента произошло событие , если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество А.

Вероятностью события наз. численная мера степени объективной возможности события P(A). Вероятность  события лежит в пределах .

Достоверным наз. событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, то есть единственное событие, включающее все без исключения элементарные исходы – событие .

Невозможным наз. событие, которое не может произойти в результате эксперимента, то есть событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество» ). Заметим, что всегда .