Глава 5. Расчет линейных электрических цепей синусоидального тока

Синусоидальный переменный ток однофазный и трехфазный получил самое широкое применение. Расчет цепей переменного тока имеет свои особенности, хотя базируется на тех же законах.

5.1. Основные понятия

Мгновенное значение (i) – величина тока в любой момент времени.

Амплитудное значение (I_m) – максимальное значение тока.

Действующее значение ( ) – величина постоянного тока, эквивалентна по тепловому действию переменному току (цепь с резистором).

Начальная фаза (_i) – несовпадение во времени начала синусоиды и начала отсчета времени, выраженное в электрических градусах.

Сдвиг по фазе () – несовпадение во времени начал двух синусоид, выраженное в электрических градусах.

Период (T) – время одного полного колебания.

Частота тока (f = 1/T) – количество полных колебаний в единицу времени. Одно колебание в секунду равно одному герцу (Гц).

Угловая частота ( = 2f) – угол поворота вектора за единицу времени. Размерность – радиан в секунду.

Эти понятия относятся и к синусоидальным ЭДС, напряжению.

Графическое изображение синусоид неудобно, поэтому синусоидальные величины представляют в виде вектора, вращающегося против часовой стрелки с угловой частотой «». (При расчетах берут их действующие значения) (рис. 5.1).

Рис. 5.1

5.2. Виды сопротивлений на переменном токе

Наличие переменных магнитных полей и связанных с этим явлений индукции и самоиндукции, поверхностного эффекта, гистерезиса и других усложняют свойства приемников электроэнергии на переменном токе и расчет цепей.

Пренебрегая наличием определенных электромагнитных процессов из-за малости их влияния на результаты инженерных расчетов, выделяют три вида идеальных сопротивлений на переменном токе.

1. Активное сопротивление (r). В таких приемниках вся электрическая энергия необратимо превращается в другой вид энергии (в резисторах в тепловую). Идеальное активное сопротивление эквивалентно сопротивлению резистора (R) на постоянном токе. Напряжение и ток совпадают по фазе, т.е.  = 0, cos = 1. (рис. 5.2).

U_r = I · r (закон Ома);

φ = 0.

Рис. 5.2

2. Индуктивное сопротивление (Х _L). Если из сверхпроводника (r = 0) намотать катушку и подключить к источнику синусоидального напряжения, то величина тока не будет равна бесконечности, как это следовало бы из закона Ома для постоянного тока или для идеального активного сопротивления, а будет ограничена определенным значением, т.е. в такой цепи появилось какое-то сопротивление.

Рис. 5.3

Причина этого – наводимая в катушке переменным магнитным полем ЭДС самоиндукции (e_L) (рис. 3).

По II закону Кирхгофа имеем:

u_L + e_L = 0, откуда u_L = -e_L,

так как e_L = -Ldi/dt, где L – индуктивность, то при i = I_msint имеем:

u_L = Ldi/dt = LI_mcost = LI_msin(t + /2), т.е. напряжение опережает ток на 90 электрических градусов или ток отстает от напряжения на 90⁰.

Произведение «L» имеет размерность сопротивления (Ом) и называется индуктивным сопротивлением:

X_L = L.

Векторная диаграмма и закон Ома для идеального индуктивного сопротивления имеет вид (рис. 5.4):

cos = φ;

U_L = I · X_L;

(отстающий).

Рис. 5.4

3. Емкостное сопротивление (X_C).

Если к источнику синусоидального напряжения подключить конденсатор (С) (рис. 5.5), то амперметр покажет, что по этой цепи проходит ток. Это объясняется процессами зарядки и разрядки конденсатора при постоянных изменениях направления тока, т. е. заряды циркулируют по обеим полуветвям от источника и обратно, конечно, не проходя сквозь конденсатор. Это будет его пробой.

Рис. 5.5

Величина движущихся зарядов (q) определяется выражениями:

q = idt = Cdu_C, откуда i = Cdu_C/dt;

при u_C = U_m sint имеем:

i = CdU_msint/dt = CU_mcost = CU_msin(t + /2),

т.е. в конденсаторе ток опережает напряжение на угол /2 (рис. 5.6). Произведение «С» имеет размерность Ом^-1 = См – (симменс), отсюда 1/C = X_C называют емкостным сопротивлением.

Для такого идеального сопротивления имеем:

U_C = I · X_C;

(опережающий).

Рис. 5.6

Реальные приемники на переменном токе обладают одновременно всеми свойствами идеальных сопротивлений, и их схемы замещения можно представить как последовательное или параллельное соединение идеальных активных сопротивлений (r) и реактивных (X_L и X_C).